Registreer FAQ Berichten van vandaag


Ga terug   Scholieren.com forum / School & Studie / Huiswerkvragen: Exacte vakken
Reageren
 
Topictools Zoek in deze topic
Oud 04-04-2006, 12:31
-(L)-
Gegeven is de functie f(x)= (6-x) * wortel(x)
Op de grafiek van f ligt het punt A met 0 < xa < 6.
(xa is de x-coordinaat van het punt A)
Het punt B is de loodrechte projectie van A op de x-as.
Stel xa = p.
Bereken algebraisch voor welke waarde van p de oppervlakte O van de driehoek OAB minimaal is.

Deze oefenopgave kreeg ik van mijn docent. Nu had ik eerst niet goed gelezen en de maximale oppervlakte berekend. Nu blijkt het dus om de minimale oppervlakte te gaan. Ik vind dit 'n beetje 'n vreemde vraag. Hoe pak ik dat aan? En is dat niet gewoon als p net iets groter is dan 0, of net iets kleiner dan 6?
Met citaat reageren
Advertentie
Oud 04-04-2006, 13:50
allbecauseofyou
allbecauseofyou is offline
Bij het berekenen van de maximale oppervlakte heb je een formule opgesteld en daar het maximum van berekend (een top dus), toch? Dan kan je ook het minimum uitrekenen, lijkt mij.
Met citaat reageren
Oud 04-04-2006, 13:57
-(L)-
Citaat:
allbecauseofyou schreef op 04-04-2006 @ 14:50 :
Bij het berekenen van de maximale oppervlakte heb je een formule opgesteld en daar het maximum van berekend (een top dus), toch? Dan kan je ook het minimum uitrekenen, lijkt mij.
Volgens formule is de oppervlakte van de driehoek dan: 0,5p(6-p)wortel(p). (0,5*basis*hoogte).

Dit heb ik gedifferentieerd;
4,5*wortel(p)-1,25p*wortel(p)
De afgeleide gelijk gesteld aan 0. Hiermee kreeg ik p = 0 of p = 3,6.

Aangezien p groter moet zijn dan 0, is alleen de oplossing p=3,6 goed.

Maar goed, bij p=3,6 is de oppervlakte van de driehoek dus maximaal. En er wordt naar een minimale oppervlakte gevraagd
Met citaat reageren
Oud 04-04-2006, 15:16
Safe
Safe is offline
Berekening correct!
Teken de grafiek van zowel f als van de opp met de GR.
Opp is min 0 als p=0 of p=6 en max als p=18/5=3,6.
p=6 geeft O'(p)=-3√6 (?), maar ja de opp kan nooit <0 zijn!

Opm: waarom kan p=0 niet?
Met citaat reageren
Oud 04-04-2006, 15:28
-(L)-
Citaat:
Safe schreef op 04-04-2006 @ 16:16 :
Berekening correct!
Teken de grafiek van zowel f als van de opp met de GR.
Opp is min 0 als p=0 of p=6 en max als p=18/5=3,6.
p=6 geeft O'(p)=-3√6 (?), maar ja de opp kan nooit <0 zijn!

Opm: waarom kan p=0 niet?
Omdat:

Citaat:
Op de grafiek van f ligt het punt A met 0 < xa < 6.
De oppervlakte kan dus niet 0 zijn. Ik vraag me dus af of ze willen weten hoe groot p is, bij een oppervlakte van 0,000000000000000000000000000000001 (bij wijze van spreken), of dat 't woord 'minimaal' gewoon een drukfout is geweest en 'maximaal' moet zijn...
Met citaat reageren
Oud 04-04-2006, 18:05
mathfreak
Avatar van mathfreak
mathfreak is offline
Citaat:
Happyyy schreef op 04-04-2006 @ 13:31 :
Gegeven is de functie f(x)= (6-x) * wortel(x)
Op de grafiek van f ligt het punt A met 0 < xa < 6.
(xa is de x-coordinaat van het punt A)
Het punt B is de loodrechte projectie van A op de x-as.
Stel xa = p.
Bereken algebraisch voor welke waarde van p de oppervlakte O van de driehoek OAB minimaal is.

Deze oefenopgave kreeg ik van mijn docent. Nu had ik eerst niet goed gelezen en de maximale oppervlakte berekend. Nu blijkt het dus om de minimale oppervlakte te gaan. Ik vind dit 'n beetje 'n vreemde vraag. Hoe pak ik dat aan? En is dat niet gewoon als p net iets groter is dan 0, of net iets kleiner dan 6?
Je weet dat A op de grafiek van f ligt, dus A=(x,(6-x)*sqrt(x)). Als de x-coördinaat van A gelijk is aan p, is de y-coördinaat gelijk aan (6-p)*sqrt(p). Omdat B de loodrechte projectie van A op de x-as is, is B het punt (p,0). We hebben nu een rechthoekige driehoek OAB met basis OA=p en hoogte AB=(6-p)*sqrt(p), dus de oppervlakte O(p) van driehoek OAB is dan 1/2*p(6-p)*sqrt(p)=(3*p-1/2*p˛)*sqrt(p). Differentiëren naar p geeft: O'(p)=(3-p)*sqrt(p)+(1 1/2*p-1/4*p˛)/sqrt(p)=(4 1/2*p-1 1/4*p˛)/sqrt(p). Voor het maximum of minimum van O moet dan gelden: O'(p)=0,
dus 4 1/2*p-1 1/4*p˛=0, dus 1/4*p(18-5*p)=0, dus p=0 of p=18/5=3 3/5. Voor p=0 is O(p) gelijk aan 0, dus moet gelden: p=3 3/5. Dit geeft als gevraagde oppervlakte O(p)=(10 1/5-6 12/25)*sqrt(3 3/5)
=(3 18/25)*sqrt(3 3/5)=(3 18/25)*3*sqrt(2)/sqrt(5)
=1/5*(3 18/25)*3*sqrt(10)=3/5*93/25*sqrt(10)=279/125*sqrt(10)
=2 29/125*sqrt(10).
__________________
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

Laatst gewijzigd op 04-04-2006 om 18:11.
Met citaat reageren
Oud 04-04-2006, 18:15
Safe
Safe is offline
Als de grenzen niet meedoen is er geen min opp!!!
Met citaat reageren
Oud 04-04-2006, 21:21
-(L)-
@Mathfreak: ook jij berekent hier de MAXIMALE oppervlakte. De vraag is echter de MINIMALE oppervlakte te berekenen...
Met citaat reageren
Oud 05-04-2006, 18:56
mathfreak
Avatar van mathfreak
mathfreak is offline
Citaat:
Happyyy schreef op 04-04-2006 @ 22:21 :
@Mathfreak: ook jij berekent hier de MAXIMALE oppervlakte. De vraag is echter de MINIMALE oppervlakte te berekenen...
Zoals Safe al aangaf is die er niet, aangenomen dat p=0 en p=6 buiten beschouwing worden gelaten. Ga er maar van uit dat er in plaats van een minimale om een maximale oppervlakte gevraagd werd, en dat er mogelijk inderdaad sprake was van een fout in de opgave.
__________________
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel
Met citaat reageren
Oud 05-04-2006, 19:21
Verwijderd
De minimale oppervlakte is nul. Dat komt omdat je de driehoek willekeurig klein kunt maken.

Om het even wat inzichtelijker te maken:

Stel dat de driehoek OAB x-coördinaat xa heeft.
Dan is de oppervlakte gelijk aan (1/2)sqrt(xa)*(6-xa)*xa
Neem nu de limiet xa -> 0, dan wordt de oppervlakte 0.
Met citaat reageren
Oud 05-04-2006, 19:22
Verwijderd
Gaat analoog voor xa->6 overigens.
Met citaat reageren
Oud 05-04-2006, 19:23
Verwijderd
PPS: de waarde 0 is hier dus wél de minimale waarde, maar geen extreme waarde.
Met citaat reageren
Oud 05-04-2006, 20:46
Safe
Safe is offline
@Mephostophilis
De limietwaarde voor het opp bij x=0 en bij x=6 is wel 0, maar daarmee is het nog geen min waarde voor de opp!
Overigens was er wiskundig geen reden om x=0 en x=6 uit te sluiten.
Grappig dat je O(6) wel een min maar geen extreem noemt, ik neem aan omdat de afgeleide O'(6) geen 0 is.
Dit wordt wel gekarakteriseerd door het begrip randmin!
Met citaat reageren
Oud 05-04-2006, 21:04
Verwijderd
Citaat:
Safe schreef op 05-04-2006 @ 21:46 :
@Mephostophilis
De limietwaarde voor het opp bij x=0 en bij x=6 is wel 0, maar daarmee is het nog geen min waarde voor de opp!
Leg uit? Oppervlakte kan niet lager zijn dan 0, en als je aantoont dat je een oppervlak kunt maken kleiner dan iedere willekeurige waarde, dan heb je toch het minimum? (nl. 0)
Citaat:
Overigens was er wiskundig geen reden om x=0 en x=6 uit te sluiten.
Jawel, want xa=0 en xa=6 zitten niet in het domein.
Citaat:
Grappig dat je O(6) wel een min maar geen extreem noemt, ik neem aan omdat de afgeleide O'(6) geen 0 is.
Dit wordt wel gekarakteriseerd door het begrip randmin!
Oké.
Met citaat reageren
Oud 05-04-2006, 22:09
Safe
Safe is offline
Citaat:
Mephostophilis schreef op 05-04-2006 @ 22:04 :
[B]Leg uit? Oppervlakte kan niet lager zijn dan 0, en als je aantoont dat je een oppervlak kunt maken kleiner dan iedere willekeurige waarde, dan heb je toch het minimum? (nl. 0)[b]Jawel, want xa=0 en xa=6 zitten niet in het domein.Oké.
Min en max behoren functiewaarden te zijn.

Wat betreft de tweede opmerking: het is wiskundig niet nodig x=0 en x=6 in het domein uit te sluiten.
Met citaat reageren
Oud 06-04-2006, 12:11
Verwijderd
Citaat:
Safe schreef op 05-04-2006 @ 23:09 :
Min en max behoren functiewaarden te zijn.
Volgens mij niet hoor... Maar ja, conventiekwestie en dus niet zo interessant.
Met citaat reageren
Oud 21-04-2006, 14:42
LiqqY
LiqqY is offline
Kun je de formule niet invoeren in je rekenmachine en dan met x=min uitrekenen wat de waarde is ?

Iig, zo heb ik dat gedaan bij het optimaliseren van verpakkingen.
__________________
Descartes' "I think therefore I am"
Met citaat reageren
Oud 22-04-2006, 13:12
mathfreak
Avatar van mathfreak
mathfreak is offline
Citaat:
Mephostophilis schreef op 06-04-2006 @ 13:11 :
Volgens mij niet hoor... Maar ja, conventiekwestie en dus niet zo interessant.
In dat geval ga je voorbij aan de stelling van Weierstrass. Deze stelling luidt dat een functie f, die op [a,b] continu is, een maximum M en een minimum m in [a,b] bezit. Dat betekent dat er een c en een d in [a,b] te vinden zijn met de eigenschap m=f(d) en M=f(c) en m=f(d)<=f(x)<=M=f(c) met a<=x<=b.
__________________
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel
Met citaat reageren
Oud 22-04-2006, 13:15
Verwijderd
Oké, maar het gaat hier om een functie met een domein (a,b) en niet [a,b].
Met citaat reageren
Oud 22-04-2006, 17:05
mathfreak
Avatar van mathfreak
mathfreak is offline
Citaat:
Mephostophilis schreef op 22-04-2006 @ 14:15 :
Oké, maar het gaat hier om een functie met een domein (a,b) en niet [a,b].
In dat geval heb je hier geen minimum, aangezien het minimum 0 wordt aangenomen in x=0 en x=6, die allebei buiten het domein vallen.
__________________
"Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel
Met citaat reageren
Advertentie
Reageren


Regels voor berichten
Je mag geen nieuwe topics starten
Je mag niet reageren op berichten
Je mag geen bijlagen versturen
Je mag niet je berichten bewerken

BB code is Aan
Smileys zijn Aan
[IMG]-code is Aan
HTML-code is Uit

Spring naar


Alle tijden zijn GMT +1. Het is nu 05:19.