[WI] vraag (moeilijk++)
 

Hallo hier een vraag waar ik maar niet uitkom..

Bewijs met behulp van volledige inductie dat voor ieder positief geheel getal geld dat 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + ... + n^2 =

n(n+1)(2n+1)
__________
....... 6

BvD

Pingu

ik weet ook gewoon nieteens meer wat precies met n+1 word bedoeld want stel dat ik n = 5 neem.

Krijg je 5^2 = 25

en dan vul ik in:


5 (5+1)(2x5+1) = 5 x 6 x 11????
___________ = ________ = geen 25.
..........6...............6

Ik weet dat ik iets grondigs fout doe maar wat

Je moet ook niet bewijzen dat n² = (1/6)n(n+1)(2n+1), maar dat 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + ... + n^2 = (1/6)n(n+1)(2n+1)

Als je dus 5 neemt als voorbeeld (maar dat is geen bewijs), krijg je:

(1/6)*5*6*11 = 55
en
5²+4²+3²+2²+1² = 25+16+9+4+1 = 55

Over het bewijs ga ik nog even nadenken.

Intuïtief kun je aanvoelen dat het antwoord een 3e-graads polynoom in n moet zijn, dus dan kun je 3 waarden van n nemen en dan vervolgens via een stelsel van vergelijkingen de coëfficiënten bepalen... maar dat is een beetje een flutbewijs. Iets beters kan ik zo snel even niet bedenken.

Volgens mij is dit hele bewijs niet zo heel moeilijk, gewoon een algemene werkwijze van inductie.

Ik voer hier de notatie s(n ) = sommatie_{i= 0 tot n} i² =?= 1/6 * n(n+1)(2n+1)

Als eerste moeten we deze gelijkheid controleren voor n = 0 (of voor n =1 zo je wilt), dit klopt (rekenen kan je zelf ook). Vervolgens veronderstellen we dat de stelling opgaat voor n = m. De volgende stap houdt gewoon in dat we het gaan bewijzen voor n = m +1 en daarbij maken we dan meestal gebruik van die veronderstelling dat het geldt voor n = m. Als we dat kunnen bewijzen is het gehele bewijs geleverd.

Waar het dus op neerkomt is te bewijzen dat
s(m+1) = 1/6 * (m + 1)(m + 2)(2m + 3) opgaat. Dit is gewoon de substitutie n = m+1 invullen in de definitie van s(n ).

We weten dat
s(m+1)
= s(m) + (m+1)² definitie van die sommatie, vul maar in
= s(m) + m² + 2m + 1 binomium van Newton of merkwaardig product (a+b)² = ...
= 1/6 * m(m+1)(2m+1) + m² + 2m + 1

Deze uitdrukking kan je dan eerst op gelijke noemer brengen, je werkt de haakjes uit en telt alles op, vervolgens moeten we ontbinden in factoren en het resultaat zou moeten volgen als je geen rekenfouten maakt. Vermits het forum nogal lastig is om alles in te typen, en deze bewerkingen triviaal genoeg zijn, geef ik enkel mijn voorlaatste en laatste uitkomst:

= 1/6 * (2n³ + 9n² + 13n + 6)
= 1/6 * (m + 1)(m + 2)(2m + 3) factorisatie met dank aan wxMaxima

We hebben dus:
voor n = 0 geldt het bewijs en als het geldt voor n = m, geldt het ook voor n = m +1; dus geldt het voor elk natuurlijk getal (stel m = 0, dan geldt het, dus ook voor n = 1, dus ook voor n = 2, enzovoorts).

Wanneer gaat men eens LaTeX invoeren :{

Dat idee heb ik al eens geopperd maar ze wilden het niet.

Ik heb het in http://forum.scholieren.com/showthread.php?t=1621540 geplaatst, verdere discussie over TeX dus ook liever daar dan hier (als er daar genoeg mensen achter gaan staan, misschien dat Jon het wel ziet zitten?).

Je bent mijn held!