[Wi]max volume kegel in een bol
 

Voor mijn tentamen probeer ik de meest voorkomende volume van bla in blie te vinden. Echter uit deze kom ik niet. Komen jullie hier wel uit? Ik heb er namelijk geen uitwerking van om het te controleren.

Een rechte kegel heeft zijn top en zijn grondcirkel op een bol met straal R. Bereken de grootst mogelijke inhoud van zo'n kegel.

Ik geloof dat je zelf de algemene werkwijze wel kent voor dergelijk probleem (namelijk een extremum met nevenvoorwaarden). In dit geval zou ik al een vereenvoudiging opleggen door gewoon het 2D-geval te beschouwen: een kegel kan je in een bol laten ronddraaien, waardoor je in feite oneindig veel kegels krijgt die zouden voldoen, als we het vastleggen op 1 bepaalde oriëntatie (wat dus een daling in aantal dimensies geeft), komt het neer op het maximaliseren van het volume van die kegel met de nevenvoorwaarde dat de gelijkbenige driehoek omschreven is door een cirkel (je neemt dus een doorsnede in het middelvlak van je bol en kegel).

Ik waarschuw ook al dat ik geen analytisch genie ben (hehe, tweede zit analyse is nergens goed voor).



is je te maximaliseren functie

Over de nevenvoorwaarde moet er even nagedacht worden, het komt daar erop neer om H en B te linken aan R. Het 'makkelijkste' gaat dat via een schets van de situatie.

Uit die schets kan je het volgende afleiden:


Met wat goniometrisch geklungel (Pythagoras in de halve driehoek) kan je uitkomen op als nevenvoorwaarde.

En op dit moment laat de algemene uitwerkingswijze me in de steek (of beter gezegd, wat ik me van die berekeningswijze herinner), dan kan je een hulpfunctie gaan maximaliseren door naar alle variabelen te gaan afleiden. Let hierin wel op, die alfa, H en B zijn afhankelijk van elkaar, je moet daar dus 2 variabelen van elimineren (het makkelijkste lijkt me de variabele alfa (en parameter R) over te houden). Het vervolg ken je waarschijnlijk wel: stelsel oplossen van de partiëel-afgeleiden van W (naar alfa en beta) gelijkgesteld aan 0 en daarvan de oplossingen bekijken. Dat geeft dan de stationaire punten, als ik me niet vergis en het maximum daartussen zoeken, is gewoon de maximale waarde van V i.f.v. alfa bepalen dan.

Zo, dat is wat ik van die uitwerking nog terecht zou brengen, fouten zijn een gratis service (dus wacht voor de zekerheid misschien op een antwoord van mijn hogerejaars TD of wiskundeknobbels als mathfreak en Kazet Nagorra).

Helaas, deze wiskundeknobbel is dronken. Ik zal er morgen nog eens naar kijken.

Ach, zo helaas hoeft dronken te zijn niet wezen, natuurlijk. Achja, slaap onze geliefde ethanol-molecuultjes maar lekker uit, zou ik zeggen (tenzij je er vanavond nog een feestje mee maakt, natuurlijk).

De essentie van het probleem zit 'm er in dat je maar één vrijheidsgraad hebt, namelijk de hoogte van de driehoek die de dwarsdoorsnede van de kegel is. Als je dus een uitdrukking hebt voor het volume van de kegel met als dwarsdoorsnede een driehoek met hoogte h, als functie van de straal R, ben je in principe klaar. Daar ga ik morgen eens aan rekenen, als niemand me voor is.

Ik kwam uit op het volgende:

Er geldt als je het inderdaad ziet als een 2D-figuur: . Hierbij kan je de h vervangen door r+sqrt (r^2-R^2). Omdat je een cirkel kan tekenen waar een gelijkzijdige driehoek in ligt met straal r. MBV pythagoras krijg je dan voor het midden naar de basis sqrt(r^2-R^2) en daar moet dan r bij opgeteld worden.

Goed, probleem 1 opgelost er staat een gegeven voor de Inhoud uitgedrukt in R. Dus differentieren naar R. Maar dan begint het feest.




Maar stel dat dan maar eens nul. Ik kom op zulke vage rare enge dingen uit dat ik besloot er maar mee te stoppen en het vandaag aan de docnet te vragen. Als jullie voor die tijd al een antwoord weten hoor ik het graag en anders post ik het antwoord wel hier ;)

Sommige stappen hiervan zijn misschien al gevonden, maar ik begin toch even van de start. Het probleem komt neer op het maximaliseren van de oppervlakte van een (gelijkzijdige) driehoek in een cirkel (dat is de doorsnede van de kegel met de bol).

Ik noteer:
R: straal van de bol (dus van de cirkel)
r: straal van het grondvlak van de kegel (dus de halve basis van de driehoek)
h: hoogte van de kegel (dus van de driehoek)
V: volume van de kegel

Er geldt: V = pi.h.r²/3.

De hoogte h = R + c waarbij c de afstand is tussen het middelpunt van de cirkel/bol en de basis van de driehoek (grondvlak van de kegel).

Uit Pythagoras volgt: R² = r²+c² => r² = R²-c².

Dus: V = pi.(R+c).(R²-c²)/3, dit geeft V in functie van c.

Afleiden levert: dV/dc = pi(R+c)(R-3c)/3.

Nulpunten hiervan zijn: c = -R en c = R/3.

Je kan nu nagaan welke overeenstemt met wat voor soort extremum. Intuïtief is het echter duidelijk: je krijgt niet het grootste volume door de kegel boven het middelpunt te plaatsen, de oplossing c = -R zal geen maximum zijn (dan zit je gewoon met een punt in de top!). Het enige maximum ligt bij c = R/3.

Dan is V = pi.(R+R/3).(R²-R²/9)/3 = 32.pi.R³/81.