[WI] wortel n- wet en somrij
 

hoi, ik heb morgen een tentamen en snap deze twee dingen nog niet helemaal. Ik hoop dat iemand het weet!
Als eerste:

gegeven is de rij 7, 10, 13, 16, 19, 22, ...

vraag: vanaf welke n is Sn > 10000? Ik snap niet hoe je dat doet, of in je GR moet invoeren.

m'n andere vraag: is over de wortel n -wet bij statistiek, wanneer deel je de standaardafwijking door wortel n en wanneer vermenigvuldig je de standaardafwijking met wortel n?

Alvast super bedankt!

Over de wortel-n: als je meer metingen hebt, wordt je standaardafwijking kleiner. Dus je moet de standaardafwijking delen door wortel(n) als je n keer zo veel metingen doet.

Over de somrij: de somrij is kwadratisch in n, dus stel Sn = an² + bn + c en bepaal a, b en c.

Hoe wij het moesten doen:
De directe formule is Un = 3n+4

in de GR: mode > Rij
(mijn GR staat in 't nederlands)

Dan op dat mooie Y= knopje drukken :p
nMin=1
u( n)=u(n-1)+3n+4
u(nMin)=7

Dan kan je bij Table opzoeken wanneer 'ie 10.000 is

We hebben hier te maken met een rekenkundige rij met eerste term a en verschil v. Voor de n-de term u_n geldt dan: u_n=a+(n-1)v, en voor de som s_n geldt dan: s_n=1/2*n(u₁+u_n)=1/2*n(2*a+(n-1)v). Voor de gegeven rij geldt: a=7 en v=3, dus s_n=1/2*n(14+3*n-3)=1/2*n(11+3*n). De vraag is dus: voor welke n geldt: 1/2*n(11+3*n)>10000? Links en rechts met 2 vermenigvuldigen geeft: n(11+3*n)>20000. Voor n=79 geldt: n(11+3*n)=79*248=19592, dus vanaf n=80 geldt zeker dat s_n>10000.

Je vermenigvuldigt de standaardafwijking met wortel n als je de som neemt van n steekproeven met teruglegging van omvang 1. Deel je deze som door n, dan krijg je het gemiddelde, en dan deel je de standaardafwijking door wortel n.

Je hebt een rekenkundige rij met als beginwaarde 7 en steeds een increment van 3.


Dat laatste heb ik ook maar laten uitrekenen door een programma, vermits ik de juiste somformule niet vanbuiten ken (waarschijnlijk heb jij die wel gezien). Het verder uitwerken van die opgave komt gewoon neer door die laatste uitdrukking > 10 000 te stellen (of eventueel gelijk aan 10 000, dan bekom je hoogstwaarschijnlijk een reëel getal en je moet het eerste natuurlijk getal groter dan of gelijk aan dat getal nemen als uitkomst.

Wat je tweede vraag betreft over de wortel-n-wet; ik heb hier eventjes opgezocht en je gebruikt eigenlijk de volgende formule:



Laat me deze formule eventjes in woorden uitdrukken: de standaardafwijking op je steekproefgemiddelde () is de standaardafwijking op je gemeten gegeven () van de steekproef gedeeld door de wortel van het aantal resultaten in je steekproef.

Ik vermoed dat je met die wiskundige uitleg niet veel wijzer bent geworden, maar ik kan moeilijk die hele theorie op een korte tijd uitleggen. Heel simpel gesteld komt het erop neer dat je door meer metingen de nauwkeurigheid van je gemiddelde in de steekproef gaat verbeteren en zo de algemene populatie beter benadert.

Dat komt door die wortel n in de breuk, stel je doet een steekproef bij 10 mensen dan gaat je afwijking op het gemiddelde die van de afwijking op je gemeten gegeven zijn gedeeld door de wortel van 10. Door meer mensen te ondervragen bv. ga je die wortel-n groter maken en dus je standaardafwijking op je steekproefgemiddelde verkleinen, waardoor je een beter resultaat bekomt (een steekproef die je gehele populatie beter benadert).

Om het geheel wat beter te kaderen: als je een steekproef doet, probeer je daarmee door slechts een beperkt aantal metingen/ondervragingen te doen, een beeld te krijgen over je gehele populatie. Hoe nauwkeurig die benadering is, hangt af van die standaardafwijking (als je tenminste een neutrale meting doet: om over je gehele populatie van de school iets te weten te komen, kan je bv. geen goede resultaten bekomen door enkel de meisjes uit het eerste jaar te ondervragen, maar moet je eigenlijk ofwel willekeurig mensen ondervragen ofwel elke deelgroep evenredig vertegenwoordigen in je steekproef (dus % jongens en % meisjes gelijk aan dat in de populatie; %'en uit de verschillende jaren gelijk aan de percentages van die groepen in je totale populatie).

Met de volgende formule kan je dit alles uitbreiden naar je gehele populatie:

Daarin zie je dus ook die wortel-n in terugkomen net als hierboven. Wat die formule betekent is dat je populatiegemiddelde benaderd kan worden door je steekproefgemiddelde m en die standaardafwijking daarop. Die factor a in de formule wordt gebruikt om de betrouwbaarheid vast te leggen: zoals je misschien wel weet, zal in een normaalverdeelde populatie 68% van de resultaten binnen het interval [ µ + sigma, µ - sigma ] liggen, en dat krijg je ook met die formule (voor a = 1): 68% betrouwbaarheid dat je gemiddelde van je gehele populatie niet meer dan sigma afwijkt van dat van je steekproef.

Voor de geïnteresseerden: deze formule geldt enkel voor gelijkwaardige uitslagen, en NIET voor ongelijkwaardige uitslagen (dat is een sigma x die variëert bij de verschillende metingen (als je twee enquêtes combineert, bv.) of verschillende metingen die je een ander gewicht meegeeft (bv. je telt stemmen van vrouwen dubbel mee). Dat ik hierboven steeds het woord metingen gebruikt, is ook te verklaren: ik ben het gaan opzoeken in een formularium over foutentheorie (eigenlijk is dat gewoon statistiek van wiskunde).

Dankjewel voor de uitleg!! Ik snap het zowaar, gaat goedkomen morgen;)

Het is eigenlijk heel eenvoudig, als je formule voor de directe rij een polynoom is van de graad n heeft je somformule de graad n+1. Volgens mij. Dus je hoeft dan alleen maar een stelsel van n+1 vergelijkingen op te lossen. Zo doet je computer dat ook, denk ik.

Zo heel moeilijk is het inderdaad niet om het op te stellen; naar ik me herinner is het inderdaad eentje van graad n+1 (ik geloof dat we hierover nog al eens gepraat hebben hier; enkele maanden geleden dan wel). Sowieso vind ik het handiger om gewoon mijn computer te laten rekenen dan om zelf rekenfouten te maken en dan met iets fout af te komen (wat dat fout betreft, trouwens; aan mijn formule van hierboven, helemaal juist is die nu ook niet: de N die je daaruit kan afleiden is eigenlijk n+1 (vermits ik begin bij n=0 en niet bij n=1, zoals dat meestal in de wiskunde wel het geval is), kortom voor het antwoord heb je n nodig, dus in mijn formule is dat n = N - 1).