[WI] limieten
 

lim
x->oneindig

x^2/x^2-4x+1

bij getallen zou ik gewoon lhopital gebruiken maar kweet niet hoe ik dit moet oneindig moet doen

edit:

ow en deze snap ik ook niet echt: lim x -> oneindig

x^3-2x+3 / x^2+1 ,ik had de teller en noemer gedeeld door x^2 dan krijg je:

x^3/x^2 - 2x/x^2 + 3/x^2 dat hele zooitje weer delen door x^2/x^2 + 1/x^2, dan snap ik dat die x^2/x^2 1 wordt maar wat je met die andere waardes moet doen snap ik niet.

Teller en noemer delen door x², dan houd je over:
1/(1-4/x+1/x²). De limiet naar oneindig nemen geeft dan 1/1 = 1.

Bij "getallen"? De regel van l'Hôpital mag net enkel bij 0/0 of bij oneindig/oneindig. Je zit hier in het laatste geval, dus l'Hôpital mag. Het is hier echter niet de aangewezen methode, zoals je in de post hierboven kan zien.

maar hoe zou dat dan met lhopital gaan, eerste differentieer je ze, dan krijg je dus:
2x/2x-4 en dan zou je dus oneindig voor die x moeten invullen, maar hoe kom je dan op 1 uit

ow en deze snap ik ook niet echt: lim x -> oneindig

x^3-2x+3 / x^2+1 ,ik had de teller en noemer gedeeld door x^2 dan krijg je:

x^3/x^2 - 2x/x^2 + 3/x^2 dat hele zooitje weer delen door x^2/x^2 + 1/x^2, dan snap ik dat die x^2/x^2 1 wordt maar wat je met die andere waardes moet doen snap ik niet.

Je zou nu nog steeds oneindig/oneindig bekomen, dus moet je nóg eens l'Hôpital toepassen. Als dat lukt, vind je normaal gezien wel 1.

Maar ik herhaal toch: beter niet met l'Hôpital eigenlijk...

hoezo dan niet :O

Omdat het prima zonder kan, zoals dutch gamer toonde. Je deelt teller en noemer door x², de breuk is dan:

1/(1-4/x+1/x²)

Voor x naar oneindig gaan de termen -4/x en 1/x² naar 0, dus er blijft 1/1 = 1 over. Geen afgeleiden nodig ;)

jah okay maar als het toch volgens beide kan waarom niet :rolleyes:

die ander som snap ik ook niet, als je ze dus differentiert dan krijg je 3x^2-2 / 2x maar dan krijg je weer oneindig/oneindig dus differentieer je ze nog een keer en heb je : 6x / 2 wat dus oneindig is. maar hoe zou je dit dan doen met die methode dat je de delere en de noemer deelt door x^2

Tweede limiet bestaat dus niet!

[tex]\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^3-2x+3}{x^2+1}[/tex]
[tex]\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x-\frac{2}{x}+\frac{3}{x^2}}{1+\frac{1}{x^2}}=\infty[/tex]

Met l'Hôpital heb zelf al gedaan.

Kan die verificatie van afbeelding niet iets duidelijker? En zijn mensen die kleurenzwak zijn.

[tex]\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x^3-2x+3}{x^2+1}[\tex]
[tex]\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{x-\frac{2}{x}+\frac{3}{x^2}}{1+\frac{1}{x^ 2}}=\infty[\tex]

Het mag wel, het is juist, maar het is hier niet de aangewezen methode. De regel van l'Hôpital (en dus afgeleiden) is een beetje "overkill" voor zo'n eenvoudige limieten.

okay dat van global kan ik niet helemaal volgen :S maar toch bedankt voor de moeite :P, en de rest ook bedankt iig, ksnap het nu weer een beetje meer. als ik die tweede limiet met lhopital doe kom ik op oneindig uit maar hoe dit werkt met deler en noemer door x^2 delen ontgaat me nog.

Zonder delen door x², gewoon de breuk in twee splitsen en delen:

(3x²-2)/(2x) = 3x²/(2x) - 2/(2x) = 3x/2 - 1/x

Voor x naar oneindig gaat de tweede term (1/x) naar 0, de eerste naar oneindig.

Er geldt: , dus . Omdat x naar oneindig gaat is x positief en mogen we teller en noemer dus door de hoogste macht x² delen. Als x naar oneindig gaat zullen en beide naar 0 gaan, dus de noemer gaat naar 1, wat dus uiteindelijk 1 als de limiet oplevert.

Er geldt: en , dus . Omdat x naar oneindig gaat is x positief en mogen we teller en noemer dus door de hoogste macht x³ delen, maar nu doet zich een probleem voor. Als x naar oneindig gaat zullen , en naar 0 gaan, zodat de teller naar 1 gaat en de noemer naar 0, dus omdat dit neerkomt op een deling door 0 en deling door 0 niet is toegestaan, bestaat de limiet van als x naar oneindig gaat niet. Dit komt omdat de hoogste macht van de teller groter is dan de hoogste macht van de noemer. Algemeen geldt: als f(x) en g(x) veeltermen zijn, dan bestaat de limiet van als x naar oneindig gaat alleen maar als de hoogste macht van x in f(x) kleiner of gelijk is aan de hoogste macht van x in g(x). Door vervolgens f(x) en g(x) door de hoogste macht in g(x) te delen kunnen we de limiet van als x naar oneindig gaat bepalen. In het eerste geval was de hoogste macht van x voor f(x) en g(x) hetzelfde, en konden we dus op deze manier de limiet bepalen, maar in het tweede geval was de hoogste macht van x voor f(x) groter dan de hoogste macht van x voor g(x), en konden we dus niet een bestaande limiet vinden.