[WI] Stokes Theorem
 

Stokes Theorem wordt gegeven door:


F wordt nu gegeven door yi - xj + zx^3y^2k. En de vraag is, "Evalueer waar S is de oppervlak gedefinieerd met x^2 + y^2 + z^2 = 1 met z kleiner of gelijk aan 0.

N = de eenheidsnormaal vector.
X = het uitproduct

Ik heb de curl van F al uitgerekend en dat is 2x^3yzi - 3x^2y^2zj.

Maar wat moet ik nu verder doen?

Beetje een vreemde notatie om curl(F) te noteren als grad x F. De gradiënt is iets helemaal anders. Je kan die vectoroperatoren (curl, grad, div) wel noteren met de operator nabla, je bedoelt dus wellicht nabla x F:



De stelling in woorden: de oppervlakteïntegraal van de rotatie (= curl) van een vectorveld F over een oppervlak S, is gelijk aan de lijnintegraal van dat vectorveld over de rand van S.

Als je nog niet goed begrijpt hoe je dit kan toepassen, bekijk dan deze pagina eens.

Naar wat ik me herinner en heb opgeschreven van het theorema van Stokes:



Dit betekent dus dat de rotatie (curl) van de vector F geïntegreerd geprojecteerd via de positieve normaal op het oppervlak S, overeenkomt met de integraal van diezelfde vector F geprojecteerd op de randkromme van dat oppervlak.

Volgens mij klopt er iets niet aan die tussenliggende formule, vermits een gradiënt ook een differentiaal-operator is en ik niet eens zie hoe je daarvan het uitproduct zou gaan nemen met een vector. Tenzij je met grad gewoon de nabla/del-operator bedoelt, zoals ik doe voor de rotatie.

Ben je trouwens ook zeker dat het oppervlak x²y² + z² = 1 is en dat het niet x² + y² + z² = 1 is (dat laatste zou het heel wat makkelijker maken, lijkt me). Goed, anyhow: volgens mij ga je dit het makkelijkste kunnen uitwerken door de meest rechtse formule te gebruiken, dus vector F integreren over de randkromme (maar geprojecteerd, dus je krijgt weer een scalair).

Die randkromme krijg je door z = 0 te stellen op je oppervlak. Wat je niet mag vergeten is dat je wel moet integreren over een kleine vector lengte-elementje van je kromme en daarvan het inproduct nemen met vector F (= projecteren). Je parametriseert weer, je bepaalt dus het vector lengte-elementje dr, F ken je, je rekent het inproduct daarvan uit en integreert met je parametergrenzen; lijkt me.

Het oppervlak is x^2 + y^2 +z^2 en dat staat er ook gewoon :p. Edit: Ik ben een noob + teken vergeten :(!

En idd grad = die operator (in mijn boek staat namelijk dat die staat voor de gradient (andere methode dan waarmee ik stokes nu krijg), maar dat is blijkbaar niet zo :().


Verder snap ik er gewoon echt niks van en zou ik het fijn vinden als het stapje voor stapje zou kunnen worden opgelost.

Ik had dus al de curl uitgerekend: 2x^3yzi - 3x^2y^2zj.

Maar ik heb geen idee hoe ik die nu in de formule moet zetten :/.

Op de website die ik gaf, zijn voorbeelden stap voor stap uitgewerkt.

Goede site :).

Maar moet je altijd vanuit de lijn intergraal werken of kan het ook via de curl? :bloos:. (nog 2 dagen om al die integreer dingen te snappen, lees vandaag stokes pas voor het eerst :()

Als je alleen lijnintegralen kan berekenen, doe je het op die manier. Maar als je ook weet hoe je een oppervlakteïntegraal bepaalt, dan kan je ook het andere lid van de stelling van Stokes berekenen.

Maar als je dus 2i + 3x^3j hebt voor de curl F. Komt het dan op deze manier in de integraal?

Volgens mij is juist de kracht van Stokes dat je met behulp van de circulatie (het rechter deel van ILUsion's vergelijking) een hele hoop integratie over moeilijke oppervlakken kan besparen. Gezien de vraagstelling en het feit dat het hier over Stokes gaat, lijkt me dit hier ook de bedoeling.

Ik kom nu tot hier:

Boundary curve = x ^2 + y^2 + z^2 =1

geparametriseerde versie daarvan is:

r(t) = sin(phi)cos(theta)i + sin(phi)sin(theta)j + cos(phi)k

Dan geldt ernu:



Wat moet er nu op de grenzen a en b worden gezet? Aangezien phi en theta andere grenzen hebben.

Wat moet er aangepast worden vanwege de normaal vector in de integraal bij curl?

Iemand, ik kom er echt niet uit en morgen is tentamen :(.

Gegeven:


Wat ik in mijn vorige post al zei: het rechterdeel van die vergelijking die ILUsion geeft uitrekenen (de circulatie). Dit doe je over de rand van het oppervlak. In dit geval is dat daar waar z = 0.

Voor het vectorveld blijft dan over (op die rand):


En het oppervlak is dan gegeven door . De rand van dit oppervlak kun je parametriseren als:


Ervanuitgaande dat de eenheidsnormaal op het oppervlak naar boven (positieve Z) wijst. Als de eenheidsnormaal naar beneden wijst, komt er een - bij bij de uitdrukking van y, maar volgens mij ontbreekt die informatie hier.

Overigens loopt t hier van 0 t/m 2 pi.

Het uitrekenen van de circulatie dan uiteindelijk:
.
Waarbij dr = |dr/dt|dt en je dus eerst de parametrisatie nog moet afleiden naar de tijd.

De integraal uitrekenen zou dan het antwoord moeten geven als ik me niet vergis. Maar dit moet iemand als Mathfreak maar even bevestigen / ontkrachten. Ik gebruik Stokes ook nooit verder.

Je bent volgens mij een beetje de mist in aan het gaan met je oplossing:



Zoals ik reeds gezegd heb is bovenstaande de formule van Stokes.

Ook weten we dat S: x² + y² + z² = 1. Dit is NIET een boundary curve, maar een boundary surface (de eenheidsbol namelijk). Wat je met die integraal eigenlijk berekent is de rotatie (curl) van vector F, geïntegreerd over dat boloppervlak. We hebben de bijkomende voorwaarde dat z <= 0; wat dus inhoudt dat x² + y² = 1 (de eenheidscirkel) de randkromme is waarop die halve eenheidsbol die we beschouwen steunt.

Uit de stelling van Stokes kan je dus halen dat die linkerintegraal, overeenkomt met de rechtsintegraal (Waarbij je dus enkel nog moet integreren over die randkromme en NIET meer over die halve bol).

We hebben onze vector F, we moeten enkel de elementaire booglengte-vector bepalen (let erop: ik gebruik geen i, j , k-vector als eenheidsvector, maar 1_X, 1_Y en 1_Z).


Hoe ik hieraan kom: door geometrisch de poolcoordinaten te bekijken, een vector 1_R (radiale eenheidsvector) kan je zelf normaal wel opstellen en de vector 1_theta staat daar loodrecht op, dus te ontbinden zoals ik hier doe.

Je merkt dus dat poolcoördinaten (of cilindercoördinaten of bolcoördinaten) zich opdringen. Vermits we in het xy-vlak werken, volstaan poolcoördinaten vermits onze dr-vector toch geen z-component heeft en aldus de z-component van het vectorveld F ook geen rol speelt voor de berekening.

Herinner de definitie van poolcoördinaten:

Die vul je dus ook in in je F-vector (zoals ik reeds zei: je z-component speelt geen rol).

Als je dan het scalair product uitwerkt, zou je moeten uitkomen op de volgende integraal (daarop kom ik toch uit):

Die is reeds geparametriseerd, namelijk in theta, en zoals je direct merkt is dit de hoofdeigenschap in de goniometrie, waardoor je eigenlijk de lengte van de cirkel krijgt, je uitkomst zou dus 2 pi zijn, tenzij ik hier of daar een fout gemaakt heb, wat best mogelijk is.

http://users.telenet.be/ilusion.be/fscho/stokes.jpg

Een erg duidelijke uitleg :)

Echter ik moest een andere integraal oplossen

Met als vector n de normaal vector.

Ik hoop dat je weet dat:

.

Hierbij is de 1_N-vector de (genormaliseerde!) normaalvector op het oppervlak S. De oppervlaktevector dS is dus niets anders dan de normaalvector op dat oppervlak maar de (scalaire) grootte van het oppervlak.

De integraal die ik berekend heb, komt dus een scalair uit (uitproduct geeft een vector, 'inproduct' geeft weer een scalair (in feite is het geen echt inproduct, maar het heeft wel dezelfde eigenschappen, vermits die 'vector' dr deel uitmaakt van het integraal-symbool, een integraal is niet compleet zonder d...). De integraal die jij geeft, zou een vector moeten uitkomen (uitproduct geeft een vector, inproduct weer een scalair, en het product van een scalair en vector geeft weer een vector).

En na mijn uitwerking te herbekijken: ik heb precies wat tekenfouten gemaakt: het moet -2pi zijn (tekenfout bij het substituëren van x = cos theta)

Dat was heus niet op jou, hoor :) Jouw oplossing had ik ook pas gezien nadat ik de mijne geschreven had (en hij lijkt me inderdaad ook best correct).

Ik had het gewoon op I Love Stars, die zei dat de boundary curve x² + y² + z² = 1 is, terwijl dat het randoppervlak (boundary surface). Dat ze dus allerlei begrippen door elkaar aan het halen was wat de toepassing van Stokes betreft.

In ieder geval, I Love Stars, veel succes met je examen morgen :)