[WI] Kansverdeling
 

hallo ik heb een paar vragen waar ik totaal niet uitkom. Morgen heb ik de tentamen dus mocht er iemand zijn die het weet, aub laat me zo snel mogelijk weten :

hier komen de vragen :

in een vaas zitter vier witte en zes rode knikkers. T. pakt zonder terugleggen een voor een knikkers uit de vaas,totdat hij een rode pakt. hierbij is X het aantal keer dat T. een knikker pakt.

antwoord :
x P(X=x)
1 6/10
2 4/15
3 1/10
4 1/35
5 1/210

Mijn vraag is dus, hoe komen zo op zo'n kansverdeling kan iemand mij dit uitleggen ?

vraag twee : in een portemonee zitten vier halve en twee hele euro's. iemand haalt aselect en zonder terugleggen een munstuk uit de portemonnee, net zo lang tot zij een hele euro pakt. De stochast X stelt het bedrag voor dat ze uit de portemonee heeft gehaald.

A ) geef de kans verdeling van X ( dus net als hierboven een lijst )
B ) bereken E(x), Var (X) en α (X)

Vraag 3 ) een vereniging verkoopt 1000 loten voor 2 euro per stuk. er is een eerste prijs 500 euro, er zijn twee tweede prijzen van elk 200 euro en er zijn 100 derde prijzen van elk 5 euro. De toevalsvariabele X is de winst van een deelnemer per lot.

bereken µx en αx

de kans op een rode in één keer is logisch natuurlijk


dan in twee keer:
Hij moet dan eerst een witte knikker pakken. De kans daarop is
Omdat het "pakken zonder terugleggen is" zitten er nu nog 9 knikkers in de vaas. De kans op een rode is dus
uitrekenen geeft


In 3 keer is het dan:

enz

ohww jah! dankje wel!! nu de andere twee

Om verder te gaan op vraag 1: je kent de binomiaalverdeling waarschijnlijk, de verdeling die dat probleem beschrijft wordt de hypergeometrische verdeling genoemd: http://nl.wikipedia.org/wiki/Hyperge...sche_verdeling (op de Engelse WikiPedia staan er trouwens meer formules uitgewerkt en meer uitleg, mocht je daar behoefte aan hebben).

Dezelfde verdeling kan je ook doen voor vraag 2 (je moet er weliswaar nog rekening houden met de waarde van de munten; dus als je na n keer trekken de euro hebt, moet je de waarde van X zien als (n-1)*0.5 + 1. Uit de hypergeometrische verdeling ga je voor elke n een kans uitkomen, als je dan steeds de formule van hierboven toepast, krijg je alle mogelijke waarden van X. Daarop kan je dan de definitie van verwachtingswaarde, variantie en hogere orde momenten toepassen.

Vraag drie is wederom gewoon de definities van verwachtingswaarde, variantie, ... gebruiken.

Mocht je ze vergeten zijn:


Hierin is x_i een waarde voor x, en p_i de kans dat je die waarde krijgt, de som laat je lopen over alle mogelijke waarden. (Bv. voor een dobbelsteen heb je waarden x = {1,2,3,4,5,6} en p={1/6,1/6,1/6,1/6,1/6,1/6}.

De variantie met zelfde begrippen:


Hogere orde momenten (ruw):


Hogere orde momenten (centraal):

Er zitten 4 munten van €0,50 en 2 munten van €1,- in de portemonnee. Je hebt nu de volgende mogelijkheden:
- eerst 4 maal een munt van €0,50 en dan 1 munt van €1,- waarna je stopt
- eerst 3 maal een munt van €0,50 en dan 1 munt van €1,- waarna je stopt
- eerst 2 maal een munt van €0,50 en dan 1 munt van €1,- waarna je stopt
- eerst 1 maal een munt van €0,50 en dan 1 munt van €1,- waarna je stopt
- de eerste keer meteen een munt van €1,- waarna je stopt.
Dit geeft voor X de waarden X=1, X=1,5, X=2, X=2,5, en X=3. Bij X=1 gaat het om de kans dat je meteen een munt van €1,- pakt. Die kans is 2/6, ofwel 1/3. Bij X=1,5 gaat het om de kans dat je eerst 1 maal een munt van €0,50 en dan 1 munt van €1,- pakt. Die kans is 4/6*2/5, ofwel 2/3*2/5=4/15. Bij X=2 gaat het om de kans dat je eerst 2 maal een munt van €0,50 en dan 1 munt van €1,- pakt. Die kans is 4/6*3/5*2/4, ofwel 2/3*3/5*1/2=2/5*1/2=1/5. Bij X=2,5 gaat het om de kans dat je eerst 3 maal een munt van €0,50 en dan 1 munt van €1,- pakt. Die kans is 4/6*3/5*2/4*2/3, ofwel 1/5*2/3=2/15. Bij X=3 gaat het om de kans dat je eerst 4 maal een munt van €0,50 en dan 1 munt van €1,- pakt. Die kans is 4/6*3/5*2/4*1/3*1/2, ofwel 1/5*1/3*1/2=1/30. Dit levert de volgende kansverdeling:
x P(X=x)
1 1/3
1,5 4/15
2 1/5
2,5 2/15
3 1/30
Aan de hand hiervan kun je dus de verwachtingswaarde, variantie en standaardafwijking van X berekenen.

Er zijn in totaal 1000 loten van €2,- per stuk. Er is lot, dat een eerste prijs van €500,- oplevert, er zijn 2 loten die ieder een tweede prijs van €200,- opleveren, en er zijn 100 loten die ieder een derde prijs van €5,- opleveren. Het lot met de hoofdprijs levert een winst van €500,- - €2,- = €498,- met een kans van 1/1000. Een lot met een tweede prijs levert een winst van €200,- - €2,- = €198,- met een kans van 2/1000, ofwel 1/500. Een lot met een derde prijs levert een winst van €5,- - €2,- = €3,- met een kans van 100/1000, ofwel 1/10. Alle overige loten leveren geen winst op, dus een winst van €0,- met een kans van 897/1000. Dit levert de volgende kansverdeling:
x P(X=x)
0 897/1000
3 1/10
198 1/500
498 1/1000
Aan de hand hiervan kun je dus de verwachtingswaarde en de standaardafwijking van X berekenen.