Scholieren.com forum - [WI] Volledige inductie

Scholieren.com forum (https://forum.scholieren.com/index.php)

- Huiswerkvragen: Exacte vakken (https://forum.scholieren.com/forumdisplay.php?f=17)

- - [WI] Volledige inductie (https://forum.scholieren.com/showthread.php?t=1859271)

Volledige inductie

Goedemorgen wiskundewonders,

Ik heb een probleem met het oplossen van sommen die te maken hebben met volledige inductie. Om eerlijk te zijn: ik weet niet eens hoe ik moet beginnen. Zouden jullie mij dit heel duidelijk willen uitleggen? De som die jullie kunnen gebruiken is:

Bewijs dat Bijlage 3404 waar is voor elk natuurlijk getal van n.

Alvast bedankt voor het helpen!

Bewijs allereerst dat de stelling juist is voor n = 0. Neem vervolgens aan dat de stelling klopt voor k = n (dit noemen we de inductiehypothese) en laat vervolgens zien dat de stelling klopt voor k = n+1. De stap waarin je bewijst dat de stelling klopt voor k = n+1 heet de inductiestap. Gebruik hierbij de eigenschap $\sum_{k=0}^{n+1} k(k+1)=\sum_{k=0}^n k(k+1)+(n+1)(n+2)$ .

Citaat:

mathfreak schreef: (Bericht 32532793)

Bedankt voor de reactie.
Ik heb inderdaad door dat dit de manier is om het op te lossen,
maar hoe doe ik dit?
Zou jij dit voor mij willen uitwerkingen?

Je weet dat $\sum_{k=0}^n=\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)$ , dus daar moet je gebruik van maken.

Bewijs de bewering voor $n=0$ , i.e
$\sum_{k=0}^{0}k(k+1)=0$
$\Rightarrow 0=0$
Deze bewering klopt alvast! (is eigenlijk vrij triviaal)

Inductiehypothese: onderstel dat de bewering geldt voor $n=p$ , i.e
$\sum_{k=0}^{p}k(k+1)=\frac{1}{3}p(p+1)(p+2)$

We moeten nu de bewering bewijzen voor $n=p+1$ , we moeten aantonen:
$\sum_{k=0}^{p+1}k(k+1)=\frac{1}{3}(p+1)(p+2)(p+3)$
Bewijs:
Vanwege de inductiehypothese geldt:
$\sum_{k=0}^{p}k(k+1)=\frac{1}{3}p(p+1)(p+2)$
Tel bij beide leden $(p+1)(p+2)$ op, dit geeft;
$\sum_{k=0}^{p}k(k+1)+(p+1)(p+2)=\frac{1}{3}p(p+1)(p+2)+(p+1)(p+2)$
$\Rightarrow \sum_{k=0}^{p+1}k(k+1)=(p+1)(p+2)\left(\frac{1}{3}p+1\right)$
$\Rightarrow \sum_{k=0}^{p+1}k(k+1)=(p+1)(p+2)\left(\frac{p+3}{3}\right)$
$\Rightarrow \sum_{k=0}^{p+1}k(k+1)=\frac{1}{3}(p+1)(p+2)(p+3)$

Dit bewijst de bewering.
Neem de tijd om dit bewijs goed te begrijpen, want inductie is een heel handige bewijstechniek om dergelijke stellingen te bewijzen.

------------------------------------

Probeer nu eens als oefening deze bekende formule m.b.v volledige inductie te bewijzen:
$1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}$