[WI] Volledige inductie

srat01 · **12-05-2012, 10:26**

Goedemorgen wiskundewonders,

Ik heb een probleem met het oplossen van sommen die te maken hebben met volledige inductie. Om eerlijk te zijn: ik weet niet eens hoe ik moet beginnen. Zouden jullie mij dit heel duidelijk willen uitleggen? De som die jullie kunnen gebruiken is:

Bewijs dat Afbeelding1.png waar is voor elk natuurlijk getal van n.

Alvast bedankt voor het helpen!

mathfreak · **12-05-2012, 11:46**

Bewijs allereerst dat de stelling juist is voor n = 0. Neem vervolgens aan dat de stelling klopt voor k = n (dit noemen we de inductiehypothese) en laat vervolgens zien dat de stelling klopt voor k = n+1. De stap waarin je bewijst dat de stelling klopt voor k = n+1 heet de inductiestap. Gebruik hierbij de eigenschap $\sum_{k=0}^{n+1} k(k+1)=\sum_{k=0}^n k(k+1)+(n+1)(n+2)$ .

srat01 · **12-05-2012, 11:58**

Citaat:

mathfreak schreef:

Bewijs allereerst dat de stelling juist is voor n = 0. Neem vervolgens aan dat de stelling klopt voor k = n (dit noemen we de inductiehypothese) en laat vervolgens zien dat de stelling klopt voor k = n+1. De stap waarin je bewijst dat de stelling klopt voor k = n+1 heet de inductiestap. Gebruik hierbij de eigenschap $\sum_{k=0}^{n+1} k(k+1)=\sum_{k=0}^n k(k+1)+(n+1)(n+2)$ .

Bedankt voor de reactie.
Ik heb inderdaad door dat dit de manier is om het op te lossen,
maar hoe doe ik dit?
Zou jij dit voor mij willen uitwerkingen?

mathfreak · **12-05-2012, 16:54**

Je weet dat $\sum_{k=0}^n=\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)$ , dus daar moet je gebruik van maken.

Siron · **12-05-2012, 22:39**

Bewijs de bewering voor $n=0$ , i.e
$\sum_{k=0}^{0}k(k+1)=0$
$\Rightarrow 0=0$
Deze bewering klopt alvast! (is eigenlijk vrij triviaal)

Inductiehypothese: onderstel dat de bewering geldt voor $n=p$ , i.e
$\sum_{k=0}^{p}k(k+1)=\frac{1}{3}p(p+1)(p+2)$

We moeten nu de bewering bewijzen voor $n=p+1$ , we moeten aantonen:
$\sum_{k=0}^{p+1}k(k+1)=\frac{1}{3}(p+1)(p+2)(p+3)$
Bewijs:
Vanwege de inductiehypothese geldt:
$\sum_{k=0}^{p}k(k+1)=\frac{1}{3}p(p+1)(p+2)$
Tel bij beide leden $(p+1)(p+2)$ op, dit geeft;
$\sum_{k=0}^{p}k(k+1)+(p+1)(p+2)=\frac{1}{3}p(p+1)(p+2)+(p+1)(p+2)$
$\Rightarrow \sum_{k=0}^{p+1}k(k+1)=(p+1)(p+2)\left(\frac{1}{3}p+1\right)$
$\Rightarrow \sum_{k=0}^{p+1}k(k+1)=(p+1)(p+2)\left(\frac{p+3}{3}\right)$
$\Rightarrow \sum_{k=0}^{p+1}k(k+1)=\frac{1}{3}(p+1)(p+2)(p+3)$

Dit bewijst de bewering.
Neem de tijd om dit bewijs goed te begrijpen, want inductie is een heel handige bewijstechniek om dergelijke stellingen te bewijzen.

------------------------------------

Probeer nu eens als oefening deze bekende formule m.b.v volledige inductie te bewijzen:
$1+2+3+\ldots+n=\frac{n(n+1)}{2}$

Soortgelijke topics
Forum	Topic	Reacties	Laatste bericht
Huiswerkvragen: Exacte vakken	[WI]Volledige inductie Verwijderd	4	14-10-2007 19:20
Huiswerkvragen: Exacte vakken	[Wiskunde] Argument en 'rules of inference'. Rob	24	15-05-2007 11:06
Levensbeschouwing & Filosofie	Hume en causaliteit Upior	39	31-01-2005 20:18
Huiswerkvragen: Exacte vakken	Priemgetallen H@nk	24	06-11-2004 19:58
Huiswerkvragen: Exacte vakken	Rij van Fibonacci etc. Demon of Fire	11	14-09-2003 21:52
Huiswerkvragen: Exacte vakken	worteltrekken uit matrices choky	4	10-06-2001 18:01

12-05-2012, 10:26
srat01	Goedemorgen wiskundewonders, Ik heb een probleem met het oplossen van sommen die te maken hebben met volledige inductie. Om eerlijk te zijn: ik weet niet eens hoe ik moet beginnen. Zouden jullie mij dit heel duidelijk willen uitleggen? De som die jullie kunnen gebruiken is: Bewijs dat Afbeelding1.png waar is voor elk natuurlijk getal van n. Alvast bedankt voor het helpen!

12-05-2012, 16:54
mathfreak	Je weet dat $\sum_{k=0}^n=\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)$ , dus daar moet je gebruik van maken. __________________ "Mathematics is a gigantic intellectual construction, very difficult, if not impossible, to view in its entirety." Armand Borel

Advertentie