[Wiskunde] Argument en 'rules of inference'.

[Rob]

Ik snap de regels van inference wel, maar als ik een argument moet bewijzen, gaat dat niet altijd even gemakkelijk.
Bijvoorbeeld:

 p ∨ q
 ~q ∨ r
 ~r
 -------
∴p

MBV de Modus Tollens en de equivalence regel krijg je dit:

 p ∨ q
 ~r
 -------
∴p

(~q ∨ r ≡ q → r, die MBV de Modus Tollens dus gewoon ~r is).

Dan krijg ik dus de laatste. DMV waarheidstabellen weet ik dat ie waar is, maar ik kan niet een laatste stap maken om het te bewijzen.

Zelfde argument, maar met een andere uitwerking:

 p ∨ q
 ~q ∨ r
 ~r
 -------
∴p

is logisch equivalen met

 q ∨ p
 ~q ∨ r
 ~r
 -------
∴p

Als ik dan de case elimination regel goed toepas, krijg ik dat
q ∨ p
~q ∨ r
gelijk is aan p, dus dan staat er:

 p
 ~r
 -------
∴p

En dan weet ik weer niet wat te doen.

Wie ziet 'm?

[WelVrolijk]

Rob schreef op 12-05-2007 @ 22:10 :
...
(~q ∨ r ≡ q → r, die MBV de Modus Tollens dus gewoon ~r is).
...
Wie ziet 'm?

Ik vrees, dat je de modus tollens niet helemaal correct toepast.
Uit

 ~q ∨ r
 ~r

volgt

 ~q

Een eenvoudig voorbeeldje:
Ik weet: Ajax heeft verloren of Feyenoord heeft gewonnen.
Ik weet ook: Feyenoord heeft niet gewonnen.
Conclusie is dan: Ajax heeft verloren.

Ander voorbeeld:
Ik moet de vorm goed invetten, of de oven niet te warm instellen.
Maar ik heb niets om de pan goed in te vetten.
Dus: Ik moet de oven niet te warm instellen.

[Rob]

Oh! Ja, nu zie ik 'm. Ik schreef de verkeerde letter op.

Okay, dan heb ik dus nu:

p ∨ q
~q
----------
∴ p

Hoe maak ik de laatste stap? Die kan ik niet maken. Of is er geen laatse stap?

[mathfreak]

Rob schreef op 12-05-2007 @ 23:26 :
Oh! Ja, nu zie ik 'm. Ik schreef de verkeerde letter op.

Okay, dan heb ik dus nu:

p ∨ q
~q
----------
∴ p

Hoe maak ik de laatste stap? Die kan ik niet maken. Of is er geen laatste stap?

Er geldt het volgende:
~q ∨ r
~r
-----
∴ ~q.

Vervang nu ~q door p en r door q.

[Rob]

Ah! Door dat ontkenningsteken zag ik 'm dus totaal niet.
Muchos graçias, señor!


Dit is echt zo'n push die ik nodig heb om iets verder te kijken dan mijn neus lang is.

[mathfreak]

Rob schreef op 13-05-2007 @ 15:10 :
Ah! Door dat ontkenningsteken zag ik 'm dus totaal niet.
Muchos graçias, señor!


Dit is echt zo'n push die ik nodig heb om iets verder te kijken dan mijn neus lang is.

Een alternatief is het volgende: omdat p ∨ q geldt als minstens een van beide proposities geldt, en omdat ~q geldt, volgt hieruit dat p geldt.

[Rob]

Ja, zo kan het ook.
Dit soort dingen zijn wel even doordenken. Vooral omdat ik situaties opzoek die precies met de regels overeenkomen.

Hier is er nog een waar ik niet helemaal uit kom:

p → q
p → r
~(p ∧ q)
----------
∴ ~p

Ik kan niet echt een toepasselijke regel of wet vinden waarmee ik überhaupt een begin zou kunnen maken.

En een docent kan ik 't ook niet vragen omdat dit niet eens in het curriculum zit. >.<

Voor een handig werk over propositielogica, zie:

http://oscarhome.soc-sci.arizona.edu...ic%20text.html

NB: logica valt niet onder wiskunde, maar onder filosofie. Het heeft weinig met wiskunde te maken omdat wiskundige bewijzen in de regel niet logisch zijn.

[mathfreak]

Rob schreef op 13-05-2007 @ 19:26 :
Ja, zo kan het ook.
Dit soort dingen zijn wel even doordenken. Vooral omdat ik situaties opzoek die precies met de regels overeenkomen.

Hier is er nog een waar ik niet helemaal uit kom:

p &rarr; q
p &rarr; r
~(p &and; q)
----------
&there4; ~p

Ik kan niet echt een toepasselijke regel of wet vinden waarmee ik überhaupt een begin zou kunnen maken.

En een docent kan ik 't ook niet vragen omdat dit niet eens in het curriculum zit. >.<

Maak gebruik van het feit dat p → q gelijkwaardig is met ~p ∨ q.

@Mephostophilis: Er bestaan verschillende soorten logica, waarbij de formele tweewaardige logica wel als onderdeel van de wiskunde wordt opgevat. Een wiskundig bewijs is wel logisch in die zin dat daarin gebruik wordt gemaakt van afleidingsregels als modus ponens of modus tollens, of het principe van volledige inductie, al naar gelang je met een direct bewijs, een indirect bewijs of een bewijs met volledige inductie te maken hebt.

Ja, er wordt natuurlijk wel gebruik gemaakt van technieken uit de logica, maar bijv. de rekenkundige operaties zijn niet te beschrijven met logische vocabulaire.

[WelVrolijk]

Mephostophilis schreef op 13-05-2007 @ 21:59 :
Ja, er wordt natuurlijk wel gebruik gemaakt van technieken uit de logica, maar bijv. de rekenkundige operaties zijn niet te beschrijven met logische vocabulaire.

De elementaire rekenkundige operaties zijn wel degelijk te beschrijven met wiskundige operaties.

Denk maar eens aan de tafels van vermenigvuldiging.
Op dezelfde manier kun je tafels maken voor de optelling.

Aangezien we in de logica doorgaans uitgaan van 2 waarden (waar en onwaar), kunnen we de rekenkundige operaties in de logica het makkelijkst omschrijven m.b.v. het binaire stelsel.
Dan neem je bijvoorbeeld WAAR voor 1, en ONWAAR voor 0.

Voor optellen van 2 getallen van 1 cijfer (zeg a en b) werkt dat dan bijvoorbeeld als volgt:
0+0=00
0+1=01
1+0=01
1+1=10

Het laatste cijfer van de uitkomst is dus 1 (waar) als a=0 en b=1, of als a=1 of b=0, en anders is het onwaar. Dat is dus precies de "exclusive or".
Het voorlaatste cijfer van de uitkomst is 1 (waar) als a=1 en b=1, en anders is het onwaar. Dat is dus precies de "en".

Op dezelfde manier kun je uitrekenen dat vermenigvuldigen van 2 getallen van 1 cijfer overeenkomt met de "en".


Voor getallen van meer cijfers geldt iets vergelijkbaars, maar dat is wat meer schrijfwerk.


Op die manier zou je een rekenmachine kunnen bouwen van logische bouwstenen (die -zoals je wellicht weet) o.a. verkrijgbaar zijn in IC's (meestal een stuk of 4 per IC).


==========

Een stapje verder:

Met behulp van een demultiplexer IC kun je een "programmeerbare" logische bouwsteen maken.
Met een demultiplexer met 4 signaal-ingangen en 2 stuuringangen kun je bijvoorbeeld een programmeerbare logische bouwsteen maken met 2 ingangen en 4 stuur- (of programmeer-) ingangen.

Daarmee kun je dus zeer eenvoudig een schakeling bouwen die twee getallen naar keuze optelt of vermenigvuldigt (enzovoorts).


Zo zou je dus theoretisch een computer kunnen bouwen van IC's.

En aangezien je een multiplexer uiteraard gewoon kunt samenstellen uit logische bouwstenen, kun je dus ook een computer bouwen met transistoren.
Of met buizen.
Of met relais.

==============

Sterker nog:
Men is er in de vorige eeuw daadwerkelijk in geslaagd om computers te bouwen met relais.
En later met buizen.
en later met transistoren.
En later met IC's.
En later met chips.

[WelVrolijk]

Mephostophilis schreef op 13-05-2007 @ 19:38 :
NB: logica valt niet onder wiskunde, maar onder filosofie. Het heeft weinig met wiskunde te maken omdat wiskundige bewijzen in de regel niet logisch zijn. [/B]

In tegendeel.

Logica is een onderdel van de wiskunde.

Het is zelfs een onderdeel van de fundamentele wiskunde.

En in de meeste deelgebieden van de wiskunde moeten bewijzen altijd aan strakke logische regels voldoen.


Dat is dan ook de reden waarom de wiskunde zo vaak gebruik maakt van axioma's.
Van elk wiskundig bewijs willen we namelijk altijd zo goed mogelijk weten, binnen welke randvoorwaarden het geldig is.
Als van een bepaald bewijs precies vaststaat van welke axioma's het is afgeleid, weet je zeker dat het geldig is in elke situatie die aan genoemde axioma's voldoet.

=============

Uiteraard gaan de wat minder gangbare vormen van logica al snel volkomen tegen je intuitie in.
Die deelgebieden liggen inderdaad vrij dicht tegen de filosofie aan.
(En ik zie zojuist dat de grote nedelandse logicus L.E.J. Brouwer volgens de Nederlandse versie van wikipedia niet alleen wiskundige was, maar ook filosoof).

Eigenlijk had ik het hier over.

[mathfreak]

Mephostophilis schreef op 14-05-2007 @ 13:47 :
Eigenlijk had ik het hier over.

Dan nog gaat je argument dat wiskundige bewijzen in de regel niet logisch zijn niet op. Ik ben op de hoogte van Gödels bevindingen, maar als iemand die zelf over het algemeen de formalistische lijn volgt weet ik dat er ook axiomastelsels zijn, waarbij je niet tegen dergelijke situaties aanloopt. Denk bijvoorbeeld aan de axioma's voor de definitie van een groep, ring, lichaam of vectorruimte.

mathfreak schreef op 14-05-2007 @ 19:47 :
Dan nog gaat je argument dat wiskundige bewijzen in de regel niet logisch zijn niet op.

Hoezo? De meeste wiskundige bewijzen maken gebruik van rekenkundige operaties. Als die niet te beschrijven zijn met logische vocabulaire, dan zijn de meeste bewijzen toch onlogisch?

[mathfreak]

Mephostophilis schreef op 14-05-2007 @ 20:03 :
Hoezo? De meeste wiskundige bewijzen maken gebruik van rekenkundige operaties. Als die niet te beschrijven zijn met logische vocabulaire, dan zijn de meeste bewijzen toch onlogisch?

De operaties zijn wel degelijk te beschrijven, ook al gebruik je daar geen logische connectieven voor. Een bewijs is wel logisch omdat je bij de opbouw van zo'n bewijs onder andere gebruik maakt van de logische afleidingsregels. Er zijn genoeg bewijzen te vinden waarbij je geen gebruik maakt van rekenkundige operaties, en dergelijke bewijzen zijn net zo logisch als de bewijzen waarbij je wel gebruik maakt van rekenkundige operaties.

mathfreak schreef op 14-05-2007 @ 20:27 :
De operaties zijn wel degelijk te beschrijven, ook al gebruik je daar geen logische connectieven voor. Een bewijs is wel logisch omdat je bij de opbouw van zo'n bewijs onder andere gebruik maakt van de logische afleidingsregels. Er zijn genoeg bewijzen te vinden waarbij je geen gebruik maakt van rekenkundige operaties, en dergelijke bewijzen zijn net zo logisch als de bewijzen waarbij je wel gebruik maakt van rekenkundige operaties.

Ik ben geen expert op het gebied van logica, maar als het zo is dat de logica die rekenkundige bewerkingen beschrijft niet compleet is, hoe kun je dan nog volhouden dat het wel logisch is?

[WelVrolijk]

Mephostophilis schreef op 14-05-2007 @ 21:39 :
Ik ben geen expert op het gebied van logica, maar als het zo is dat de logica die rekenkundige bewerkingen beschrijft niet compleet is, hoe kun je dan nog volhouden dat het wel logisch is?

Hoe kom je er in 's hemelsnaam bij dat de logica die de rekenkundige bewerkingen beschrijft niet logisch zou zijn?


Of heb je het nou over de onvolledigheidsstelling?

Die zegt niets over het al dan niet compleet zijn van "de logica die rekenkundige bewerkingen beschrijft."
De stelling zegt in feite alleen maar dat het in elk niet-triviaal stelsel mogelijk is een uitspraak te doen waarvan onmogelijk bewezen kan worden of hij al dan niet waar is.

[mathfreak]

Mephostophilis schreef op 14-05-2007 @ 21:39 :
Ik ben geen expert op het gebied van logica, maar als het zo is dat de logica die rekenkundige bewerkingen beschrijft niet compleet is, hoe kun je dan nog volhouden dat het wel logisch is?

Volgens mij heb je niet goed begrepen wat Gödels onvolledigheidsstelling inhoudt, of houd jij er een andere definitie van het begrip logisch op na dan ik. Het gaat niet om het al of niet compleet zijn van de logica als zodanig, maar om het al of niet compleet zijn van een axiomasystem, waarbij de axioma's binnen zo'n systeem worden beschreven met de regels van de logica.

Ok, het is duidelijk dat ik me er eerst eens meer in moet verdiepen.

[Rob]

Nu het niveau weer helemaal omlaag trekken!

Maak gebruik van het feit dat p → q gelijkwaardig is met ~p ∨ q.

Dat heb ik gedaan, maar dan zie ik 't eigenlijk nog steeds niet.

Hoe ik de andere vormen ook op schrijf, ik zie niet een wet die ik toe zou kunnen passen... Welke wet moet ik hebben? :\

Je moet zo'n schema maken, dan hoef je niet zo veel na te denken. Als ik me niet vergis staat er in Pollock meer over.

[Rob]

Hm.

Ik zie deze regel nu (chapter 4 van je link):

P &rarr; A
T &rarr; A
P &or; T
--------
&there4; A

Is dit ook een wet die altijd waar is? Ik zie niet een gelijkenis met één van de 9 rules of inference die in mijn boek staan, namelijk... Of ik kijk scheel en het is een combinatie van wetten, ofzo.

P → A dus ~P v A
T → A dus ~T v A
P ∨ T

P v T is waar, dus dan moet ofwel ~P ofwel ~T niet waar zijn, of allebei niet waar. Omdat zowel ~P v A als ~T v A waar is, moet dus gelden dat A waar is. Ik ga even opzoeken waar zo'n schema staat uitgelegd.

Hier op wiki, bij 'waarheidstabel'.

http://nl.wikipedia.org/wiki/Propositielogica