Scholieren.com forum - [WI] Sommen

Scholieren.com forum (https://forum.scholieren.com/index.php)

- Huiswerkvragen: Exacte vakken (https://forum.scholieren.com/forumdisplay.php?f=17)

- - [WI] Sommen (https://forum.scholieren.com/showthread.php?t=1873322)

Ik kom er niet goed uit wat som (x=4, inf) (x-3)* 2^(x+1) / x! is. Ik had hem al wel omgeschreven naar 1/16 ( som(x=0, inf) x*2^(x+4)/(x+4)! + som(x=0, inf) 2^(x+4)/(x+4)!) maar dan kom ik er nog niet uit.

Edit: De sommen zijn dus

$\sum_{x=4}^{\infty} \frac{(x-3)*2^{x+1}}{x!}$

$\frac{1}{16} * (\sum_{x=0}^{\infty} \frac{x*2^{x+4}}{(x+4)!}+ \sum_{x=0}^{\infty} \frac{2^{x+4}}{(x+4)!}) = \frac{1}{16} * (\sum_{x=0}^{\infty} \frac{x*2^{x+4}}{(x+4)!}+ \sum_{x=0}^{\infty} \frac{2^{x}}{(x)!} - \sum_{x=0}^{3} \frac{x*2^{x+4}}{(x+4)!})= \frac{1}{16} * (\sum_{x=0}^{\infty} \frac{x*2^{x+4}}{(x+4)!}+ e^2 - \sum_{x=0}^{3} \frac{x*2^{x+4}}{(x+4)!})$

Dus alleen die eerste som met een factor x blijft staan, en ik weet niet hoe ik die weg krijg.

Kan je niet een formule van de partiële som vinden en daar de limiet van n to infty van nemen?

Maar hier moet ik wel even aan toevoegen dat ik ook nog niet zo expliciet de uitkomst van zo'n sommatie heb moeten uitrekenen. Is dit een tweedejaars natuurkunde vak?

Tweedejaars wiskunde ;) Ik kan het antwoord wel vinden via wolframalfa, maar ik wil weten hoe het nou zit.

(het antwoord is 1/16* (9-e^2) dacht ik)

Ik heb het gevonden volgens mij:
$\sum_{x=4}^{\infty}\frac{(x-3)2^{x+1}}{x!} = \sum_{x=4}^{\infty} \frac{x2^{x+1}}{x!}-3 \sum_{x=4}^{\infty} \frac{2^{x+1}}{x!} = \sum_{x=4}^{\infty} \frac{x2^{x+1}}{x!}-6 \sum_{x=4}^{\infty} \frac{2^x}{x!}$

Laten we eerst de rechtersom uitwerken. Het lijkt heel sterk op de macLaurinreeks van $e^{2}$ alleen zit de sommatie-index nog niet goed dus kunnen we het volgende doen:
$e^{2}=\sum_{x=0}^{\infty} \frac{2^x}{x!} = 1+2+\frac{4}{2}+\frac{8}{6}+\sum_{x=4}^{\infty} \frac{2^x}{x!}=\frac{19}{3}+\sum_{x=4}^{\infty}\frac{2^x}{x!}$

Analoog voor de linkersom kunnen we schrijven:
$\sum_{x=4}^{\infty} \frac{x 2^{x+1}}{x(x-1)!} = \sum_{x=4}^{\infty} \frac{2^{x+1}}{(x-1)!}=\sum_{x=4}^{\infty} \frac{2^{x-1+2}}{(x-1)!}=4 \sum_{x=4}^{\infty} \frac{2^{x-1}}{(x-1)!}$

Stel nu voor de gemakkelijkheid $y=x-1$ dan wordt de som in functie van $y$ nu
$\sum_{y=3}^{\infty} \frac{2^{y}}{y!}=e^{2}-5$

Dus krijgen we voor de gehele som
$\sum_{x=4}^{\infty}\frac{(x-3)2^{x+1}}{x!} = 4(e^{2}-5)-6\left(e^{2}-\frac{19}{3}\right)=4e^2-20-6e^2+38=-2e^2+18=-2(e^2-9)$

Dit is ook het antwoord dat wolfram alpha geeft ;)