Wiskundige/natuurkundige berekeningen in meerdere dimensies?
 

Ik ben nu met wiskunde veel met assenstelsels bezig, dus ik zat vannacht te denken of je ook in meerdere dimensies in assenstelsels kan uitbeelden. Ik weet niet of ik dit juist zeg, maar goed. Wat ik bedoel is dat de meeste assenstelsels een x en y as hebben. Ik veronderstel (het lijkt me tenmisnte heel logisch) dat er ook nog een 3e as in de diepte is waardoor je een 3d assenstelsel krijgt (x horizontaal, y verticaal en z in de diepte). Als dit klopt, kun je dan ook de andere dimensies (4e of 5e ofzo) in een assenstelsel verwerken? Of kan dit alleen via natuurkundige berekeningen (als het uberhaubt kan)?

Ik hoop dat ik een beetje te volgen ben :eek: ...

z-assen hebben wij weleens gehad bij wiskunde, maar dan vooral om ruimtelijke figuren uit te beelden. En bij een archimedische spiraal (ook een ruimtelijk figuur, maar dan wel een met formule en niet zomaar iets) Meer assen heb ik nog nooit gehad, en ik ben ook niet zo into wiskunde om daar iets vanaf te weten. Maar ik vind het opzich ook wel interessant om te weten.

In principe is de richting van de 3e as vrij willekeurig gekozen. Je bent daarom ook gewoon vrij om de 4e of 5e as een willekeurige richting te geven. Niet dat je plaatje er echt duidelijker op wordt, maar toch...

http://www.math.dartmouth.edu/~hilbe.../hypercube.gif

Dit is bijvoorbeeld een hypercube; dat is een kubus die in meer dan 3 dimensies bestaat (in dit geval 4). De kubus met blauwe ribben stelt "de 3D-voorkant" van de hypercube voor, net zoals de voorkant van een 3D-kubus weer een 2D-vierkant is. De rode kubus is de achterkant van hypercube. De richting van de donker-blauwe ribben liggen evenwijdig aan de 3e as; de richting van de gele lijnen liggen verder evenwijdig aan de 4e as.

De maker van het plaatje is alleen niet echt consequent geweest, aangezien sommige ribben van de achterste kubus over de ribben van de voorste kubus heen liggen ;)

Dus dit plaatje is een 2-D projectie van de 3-D projectie van een 4-D object? (om het even ingewikkeld te maken). :D

Ja hoor, je bent uitstekend te volgen. In feite kun je inderdaad voor n>3 ook een assenstelsel hebben, maar het probleem is dat je dat niet zichtbaar kunt maken. Je kunt in de n-dimensionale ruimte IRⁿ wel een oorsprong O definiëren dat de oorsprong vormt van een n-dimensionaal assenstelsel, waarin een punt de coördinaten (x₁,x₂,...,x_n) heeft, maar dan bevind je je toch meer op het gebied van de lineaire algebra.

Leuk plaatje.
Wordt in de Natuurkunde trouwens niet tijd als de vierde dimensie beschouwd?

Jup. Hier wordt dan ook gesproken over ruimtelijke dimensies. :) Een hoop wetenschappers die de supersnaartheorie aanhangen, zou er nóg een tijdsdimensie zijn. :cool:

Hier een wat duidelijker (hoewel kleiner) plaatje:
http://www.hypermaths.org/quadibloc/...mages/tess.gif

En verder verwijs ik je hier naar. Daar kan je een 2d-weergave van een hypercube draaien in vier richtingen ofzo. :) En een beetje oefenen om in 4d te kijken.

Erg cool... maar ook verwarrend. Ik vind het nog steeds moeilijk om in 4d te kijken. Als je dat object in de link draait, verandert die namelijk steeds van vorm. Komt dit omdat je vanuit verschillende perspectieven hetzelfde object kijkt ofzo?

:EDIT:

En wat is precies de functie van de rechtermuisknop in dat spelletje (ik heb al ontdekt dat je met de linkermuisknop de kubus draait :))...

soms begrijp k zo'n vierdimensionaal plaatje opeens, maar andere momenten absoluut niet.
maar ik heb nog nooit gehoord van iemand die wat kon zien in 5 dimensies, lijkt me ook heel goed mogelijk dat dat niet kan.
iemand?

mm blijf dat vier D ding echt alleen maar 3 D bekijken, hoor....

Ik zie gewoon op een drie D manier twee objecten die met elkaar verbonden zijn.
Maar het blijft 3 D

:confused:

y, x, z as blijf ik zien. Niet opeens een andere as :confused:

Ik snap het een beetje beter. Er staat op die site ook een link die je helpt 4d te leren kijken. Je moet gewoon de 4d cubus proberen in te denken als een object dat uit 8 3d cubussen bestaat.

Ja, maar wat is daar 4 dimensionaal aan? Ik zie dan gewoon 8 cubussen in x, y en z. :confused:

(hoewel ik nog niet 8 heb ontdekt :P maar als jij t zegt ;))

4D kijken kan ook helemaal niet, omdat wij maar drie dimensie's hebben. Tijd niet meegerekend dan.
Die vierde dimensie is gewoon een puur wiskundig iets. En in dat plaatje wordt dat schematisch weergegeven.

Er zijn theorieën die een vierde dimensie vereisen. Deze is echter nooit zichrbaar...

ik dacht al dat ik gek werd :eek: :o

;)

In de snaartheorie moeten er zelfs 11 dimensies bestaan. Maar 7 daarvan zijn zo klein dat wij ze nooit kunnen waarnemen of erdoor heen kunnen reizen.

Maar Gatara, er is niks mis met je ogen of je voorstellingsvermogen. 4d kijken is voor mensen praktisch onmogelijk. We kunnen wel een theoretisch model maken van een 4d figuur.

Haha, dit is iets waar ik 2 nachten over heb nagedacht onlangs.
Hier is mijn conclusie:
4 dimensionaal bestaat en is op meerdere manieren voor te stellen waarvan 1 een 3d-mensionaal beeld in beweging is...m.a.w. tijd

Stel je voor: Een 2 dimensionaal beeld, (2 assen) bv te vergelijken met een tekening. Stel dat de tekening een lijn uit de oorsprong is uit het assenstelsel met richtingscooeffecient 1 dus gewoon een rechte dat een hoek van 45 graden vormt t.o.v de x-as (of y-as)

Een 1 dimensionaal vlak is één as en dus gewoon een lijn. Het enige wat je hierop kunt weergeven zijn lijnstukken en punten.

Echter kan je op dit ééndimensionaal vlak de lijn voorstellen in functie van tijd.

de x-as in de tweede dimensie kan je vervangen door de x-as in de eerste dimensie. De y-as in de tweede dimensie kan je vervangen door tijd in te voegen in de eerste dimensie:
in tweede dimensie:
als x=1 dan y=1
als x=7 dan y=7

in eerste dimensie
als x=1 dan t=1
als x=5 dan t=5

Als je t gelijkstelt aan tijd dan is het resultaat in ééndimensionaal beeld een punt op de x-as dat wegbeweegt naar rechts van de oorsprong.

Met deze weergave kan je op een één dimensionaal vlak alle gegevens weergeven dat nodig is om het terug om te zetten in het tweedimensionaal vlak zonder tijd.

Als je op dezelfde manier nadenkt kan je een bewegende vormen in een 2d vlak omvormen naar een stilstaand 3d beeld:
een cirkel dat steeds groter en groter wordt (beweging) kan je interpreteren als een stilstaand 3d beeld dat een kegel voorstelt.
(zonder grondvlak, alleen zou de laatste frame van de animatie in 2d een gevulde cirkel zijn)

Op die analoge manier kan je besluiten dan een bewegend 3d vlak kan voorgesteld worden als een stilstaand 4d beeld.

Echter wij kunnen geen 4d beeld waarnemen, enkel 3d in beweging, wat enkel een voorstelling is van een 4d stilstaand beeld.

In feite leven we dus eigenlijk in een voorstelling van een stilstaand 4-d beeld. Maar in de tijd is elke actie een gevolg van de vorige. Ieder bewegend 3d-beeld is dus voor te stellen als een 4d stilstaand beeld, maar niet ieder 4d stilstaand beeld is voor te stellen als een 3d bewegende animatie in werkelijkheid (wel in theorie)

Dat is mijn visie ;)

In een 4 dimensionale ruimte-tijd moet je de tijd niet met een vierde ruimte dimensie proberen te vergelijken hoor :)

Ja, dat dacht ik ook. Maar t kwam hierin zo naar voren alsof t praktisch wel mogelijk was.

Maar ik heb het wel over een 4 dimensionale ruimte (ruimte-tijd) dat je kan vergelijken met een 3 dimensionale ruimte-tijd...

Een 4 dimensionale ruimte-tijd is dan nog minder te vatten ;)