Eigenvectoren/eigenwaardes

[jbtq]

Ik ben bezig met enkele dingen te bewijzen, maar er zijn 2 dingen die ik niet begrijp cq niet uitkom. Als eerste moet ik bewijzen dat alle n bij n matrices diagonaliseerbaar zijn. Dat blijkt dus niet te kunnen. Denk aan de matix {0,1}{-1,0} waarbij de eigenwaarde i en -i zijn. Maar waarom kan dat dan niet?/ kan nergens in mijn boek een stelling er over vinden. Dus waraom vormen die i en die -i een probleem?

En nog een vraagje. Meer vertalingsvraagje dan een echt wiskundig vraagje. De vraag in engels luid als volgt:
If Aen B are similar square matrices and A is diaginalizable, then B is also diagonalizable.

Maar als ik het zo lees, lijkt mijn dat er staat dat A en B de zelfde matrices zijn, dus zowel qua grootte als inhoud. begrijp ik de vraga nu verkeerd of niet?/ vind namelijk een hele vreemde stelling om te bewijzen, als het zo is.

Alvast bedankt

[blablalou]

hallo j..q

Misschien ligt hier...
http://mathworld.wolfram.com/SimilarMatrices.html
...een oplossing voor je probleem?

[mathfreak]

jbtq schreef op 06-12-2003 @ 20:26:
Ik ben bezig met enkele dingen te bewijzen, maar er zijn 2 dingen die ik niet begrijp cq niet uitkom. Als eerste moet ik bewijzen dat alle n bij n matrices diagonaliseerbaar zijn. Dat blijkt dus niet te kunnen. Denk aan de matix {0,1}{-1,0} waarbij de eigenwaarde i en -i zijn. Maar waarom kan dat dan niet?/ kan nergens in mijn boek een stelling er over vinden. Dus waarom vormen die i en die -i een probleem?

Mogelijk heb je de stelling niet goed gelezen. Een vierkante matrix A is namelijk alleen diagonaliseerbaar als A symmetrisch is, dus als geldt: A=A^T, waarbij A^T de getransponeerde van A voorstelt. In dat geval is er een orthogonale matrix S te vinden met de eigenschap
S^-1*A*S=S^T*A*S=diag(labda₁,...labda_n), waarbij diag(labda₁,...labda_n) de diagonaalmatrix voorstelt die de eigenwaarden van A als elementen heeft.

jbtq schreef op 06-12-2003 @ 20:26:
En nog een vraagje. Meer vertalingsvraagje dan een echt wiskundig vraagje. De vraag in engels luid als volgt:
If Aen B are similar square matrices and A is diaginalizable, then B is also diagonalizable.

Maar als ik het zo lees, lijkt mijn dat er staat dat A en B de zelfde matrices zijn, dus zowel qua grootte als inhoud. begrijp ik de vraga nu verkeerd of niet?/ vind namelijk een hele vreemde stelling om te bewijzen, als het zo is.

Alvast bedankt

Je begrijpt het inderdaad verkeerd. Het gaat om de stelling "Als A en B gelijkvormige n bij n matrices zijn en als A diagonaliseerbaar is, dan is B ook diagonaliseerbaar". A en B heten gelijkvormig als er een matrix L te vinden is met de eigenschap L^-1*A*L=B.

[GinnyPig]

Ik denk dat ze bij de eerste vraag bedoelen, dat je als je je beperkt tot de R², de genoemde matrix niet diagonaliseerbaar is. De eigenwaardes zijn tenslotte niet reëel.