Functie om parameterkromme te beschrijven

[ProPHeT]

We hebben een parameterkromme die beschreven wordt door:

x = cos t
y = cos 3t

op domein [0,pi]

Er is een functie in de vorm y = ax³ + bx die de kromme beschrijft. Hoe kan ik berekenen welke kromme dit is? Ik heb de volgende tabel al gemaakt:

t 0            1/6pi       1/3pi       1/2pi       2/3pi       5/6pi      pi
x 1            1/2sqrt3    1/2         0           -1/2        -1/2sqrt3  -1
y 1            0          -1           0           1           0          -1

[sdekivit]

je moet cos 3t om gaan schrijven tot een formule met enkel cos t en aangezien cos t gelijk is aan x heb je de gevraagde vergelijking

[GinnyPig]

Truuk is om 2 punten (x,y) te bepalen op de parameterkromme, welke je vervolgens invult in de formule y = ax^3 + bx. Dit levert 2 lineaire vergelijkingen voor a en b, welke je dan kan oplossen. Je was in principe dus op de goede weg In de spoiler staat de gehele uitwerking.

Spoiler

Op t = 0 geldt: x = 1 en y =1. Oftewel, ingevuld in de formule geldt er:

1 = a + b

Op t = 1/3 pi geldt: x = 1/2 en y = -1. Ingevuld levert dat de vergelijking:

-1 = a*1/8 + b*1/2

Je hebt nu een stelsel vergelijkingen voor de onbekenden a en b:

a + b = 1
a + 4b = -8

Dit kan je uiteraard wel oplossen. Antwoord: a = 4 en b = -3.

[Dvalin]

GinnyPig schreef op 05-02-2004 @ 17:53:
Truuk is om 2 punten (x,y) te bepalen op de parameterkromme, welke je vervolgens invult in de formule y = ax^3 + bx. Dit levert 2 lineaire vergelijkingen voor a en b, welke je dan kan oplossen. Je was in principe dus op de goede weg In de spoiler staat de gehele uitwerking.

inderdaad je kunt via dit trucje, maar in het algemeen ga je y omschrijven naar een functie van x.

in dit geval dus:

y = cos(3t) = cos(t + 2t)

y = cos(t)cos(2t) - sin(t)sin(2t)

y = cos(t)(2cos²(t) - 1) - 2sin²(t)cos(t)

y = 2cos³(t) - cos(t) - 2cos(t)(1-cos²(t))

y = 2cos³(t) - cos(t) - 2cos(t) + 2cos³(t)

y = 4cos³(t) - 3cos(t) = 4x³ - 3x