Differentiaalvergelijking

Hoe los je een differentiaalvergelijking op van de vorm:

dx/dt = a*x+b

[Young Grow Old]

Ik kan je geen nette uitwerking geven, omdat die +b erbij staat..
Volgens mij moet het zijn x=e^at+c-b/a
dan
dx/dt=a*e^at+c=a*(e^at+c-b/a)+b=a*x+b.
Maar ik kan je niet garanderen dat er niet meer oplossingen zijn..

[GinnyPig]

Antwoord hierboven klopt gewoon (1e orde differentiaalvergelijking kan maar 1 vrijheidsgraad hebben. En aangezien die er inzit, en het antwoord voldoet aan de vergelijking, moet het antwoord dus kloppen); hier is een uitwerking.

x'[t] - a x[t] = b

Los eerst de homogene vergelijking op:

x'[t] - a x[t] = 0
x'[t] = a x[t]
x = C exp[a t]; met C een willekeurige constante.

Vervolgens de particuliere oplossing:
x'[t] - a x[t] = b
Een manier om dit op te lossen is simpelweg wat functies te testen. Nulfunctie (x[t] = 0) levert bijvoorbeeld in het linkerlid:
x'[t] - a x[t] = 0
Stel dan bijvoorbeeld x[t] = b
x'[t] - a x[t] = -a b
Dit is nog een factor -a teveel. Delen door -a geeft x[t] = b/-a:
x'[t] - a x[t] = b
En dat is de uitkomst die je wilt hebben.

Algemene oplossing is dus:
x[t] = -b/a + C exp[a t]
De homogene oplossing zit er bij omdat deze toch 0 oplevert als je hem in het linkerlid stopt. Die functie is dus je vrijheidsgraad.