De binomiale verdeling

[Zeldom]

Beatrice pakt twee knikkers uit een vaas met 6 rode en 3 witte knikkers. Ze bekijkt de kleur van de knikkers waarna ze de twee knikkers teruglegt in de vaas.
Bereken de kans dat ze

a drie keer twee rode knikkers pakt
b twee keer twee witte knikkers pakt
c vier keer verschillend gekleurde knikkers pakt

Iemand die me hiermee kan helpen ? Ik weet niet hoe ik dit aan moet pakken.

[Keith]

Bij binomiale verdeling moet ja gebruiken:

P = (n nCr k) * p^k * (1-p)^n-k
waarin:
P = kans dat je de jusite hoeveelheid krijgt
n = aantal keren dat je pakt
k = aantal keren succes
p = kans op succes als je 1 keer pakt

a) de kans op drie keer twee rode is:
P = (3 nCr 3) * p³ * (1-p)^3-3
P = p³

nu moet je dus de kans weten dat ze bij een keer pakken twee rode knikkers pakt. Dat moet je doen met de formule voor "pakken met terugleggen". (Helaas kan ik deze niet meer herinneren.

bij b) en c) is het begin hetzelfde, maar is de waarde voor p en k,n anders.

[sdekivit]

Zeldom schreef op 13-06-2005 @ 13:50 :
Beatrice pakt twee knikkers uit een vaas met 6 rode en 3 witte knikkers. Ze bekijkt de kleur van de knikkers waarna ze de twee knikkers teruglegt in de vaas.
Bereken de kans dat ze

a drie keer twee rode knikkers pakt
b twee keer twee witte knikkers pakt
c vier keer verschillend gekleurde knikkers pakt

Iemand die me hiermee kan helpen ? Ik weet niet hoe ik dit aan moet pakken.

als ze 2 knikkers tegelijk pakt, dan is dat gelijk aan 2 maal 1 trekking zonder terugleggen.

a) de kans dat je 2 rode knikkers pakt is dus 6/9 * 5/8 = 5/12

Die 5/12 kun je gebruiken als binomiale kans. De kans dat je 3 maal 2 rode knikkers pakt is (5/12)^3 = 0,0723

b) de kans op 2 witte knikkers in 1 trekking is: 3/9 * 2/8 = 1/12

de kans dat ze in 2 trekkingen 2 witte knikkers pakt is dan:

(1/12)^2 = 0,0069

c) de kans op een verschillende knikker is: 2 nCr 1 * 6/9 * 3/8 = 0,5

de kans dat je dus in 4 trekkingen 4 maal 2 verschillende ballen trekt is dan:

(0,5)^4 = 0,0625

[Zeldom]

Hmm dankje,
maar ik heb in mn antwoordenboek andere uitkomsten staan

A 0,274
B 0,115
C 0,273

[sdekivit]

heb je de vraag dan wel goed overgenomen. Hoeveel trekkingen doet ze?

[Zeldom]

oops, sorry.

Ze voert dit experiment 8 keer uit..

[sdekivit]

Zeldom schreef op 13-06-2005 @ 13:50 :
Beatrice pakt twee knikkers uit een vaas met 6 rode en 3 witte knikkers. Ze bekijkt de kleur van de knikkers waarna ze de twee knikkers teruglegt in de vaas.
Bereken de kans dat ze

a drie keer twee rode knikkers pakt
b twee keer twee witte knikkers pakt
c vier keer verschillend gekleurde knikkers pakt

Iemand die me hiermee kan helpen ? Ik weet niet hoe ik dit aan moet pakken.

we voeren het dus 8 keer uit

dan krijgen we:

de kans op 2 roden: 5/12 (zie eerdere reply)

daarna krijgen we de volgorde op 1 mogelijkheid:

(5/12)^3 * (7/12)^5

en dat kan op 8 nCr 3 mogelijkheden

kans: 8 nCr 3 * (5/12)^3 * (7/12)^5 = 0,274

b) zelfde prinicipe als bij a met de kans op 2 witten (sorry dat moet zijn 1/12)

dus: 8 nCr 2 * (1/12)^2 * (11/12)^6 = 0,115

c)

8 nCr 4 * (0,5)^8 = 0,273

[Zeldom]

Dankje Ik snap alleen niet hoe je precies aan die 5/12 komt?

[Keith]

Volgens mij is er ook een algemenere manier om aan die 5/12 te komen maar wat je hier zegt is dit:

Om twee roden te trekken, moet de eerste die je pakt een rode zijn. Aan het begin zijn er 6 roden uit een totaal van 9, dus is de kans 6/9 = 2/3 dat dit gebeurt. Als je de tweede gaat pakken, die oo krood moet zijn, zijn er 5 rode over, uit een totaal van 8, dus dan is de kans 5/8. De kans dat zowel de eerste als de tweede rood is, is dus: 2/4 * 5/8 = 10/24 = 5/12

[sdekivit]

Zeldom schreef op 13-06-2005 @ 21:55 :
Dankje Ik snap alleen niet hoe je precies aan die 5/12 komt?

2 ballen tegelijk trekken is dus hetzelfde als een normale trekking zonder terugleggen.

[Keith]

TD schreef op 13-06-2005 @ 20:26 :
[B]
[afbeelding]

---
beknopt overzicht voor de vaakvoorkomende gevallen.

"Op hoeveel manieren kan je r objecten kiezen uit een totaal van n objecten"

volgorde van belang: geordend
- met teruglegging (herhaling): n^r
vb: cijfercombinaties fietsslot
- zonder teruglegging: nPr (permutatie)
vb: anagrammen

volgorde niet van belang: ongeordend
- met teruglegging (herhaling): (n+r-1)Cr
vb: je opgaven van de ijsjes
- zonder teruglegging: nCr (combinatie)
[COLOR=grey]vb: diezelfde opgave zonder herhaling van dezelfde smaak[B]

Zie dit mooie overzichtje van TD eens.