[wiskunde] oppervlakte berekenen..

[Upior]

Een vierkant met hoeken P1, P2, P3 en P4 heeft een zijde met lengte 1. Elk hoekpunt van het vierkant is een middelpunt van een cirkel, elk met straal 1. Er is éen gebied in het vierkant dat in alle vier de vierkanten ligt. Bereken de oppervlakte van dit gebied.

Ik kom maar niet verder... Kunnen jullie misschien wat tips of hints geven hoe ik dit het beste kan aanpakken? Hoe zouden jullie dit doen?

[mathfreak]

Upior schreef op 08-09-2005 @ 18:33 :
Een vierkant met hoeken P1, P2, P3 en P4 heeft een zijde met lengte 1. Elk hoekpunt van het vierkant is een middelpunt van een cirkel, elk met straal 1. Er is éen gebied in het vierkant dat in alle vier de vierkanten ligt. Bereken de oppervlakte van dit gebied.

Ik kom maar niet verder... Kunnen jullie misschien wat tips of hints geven hoe ik dit het beste kan aanpakken? Hoe zouden jullie dit doen?

Maak maar eens een tekening van het vierkant met de 4 gegeven cirkels, dan zie je de figuur, waarvan je de oppervlakte wilt berekenen, vanzelf verschijnen. Waarschijnlijk zul je dan ook wel weten hoe je de oppervlakte van die figuur moet berekenen, en hoe groot die oppervlakte precies is.

[Upior]

Nou dat heb ik inderdaad gedaan, maar ik kom er nog niet uit. Ik kan wel een aantal dingen berekenen, maar niet díe oppervlakte...

Ik heb wel een methode voor ogen:


De nieuwe figuur hak je in vieren (de rode lijnen). Je kan de oppervlakten van het gebied met de lila lijnen uitrekenen (pi*r²/[360 gr./hoek tussen lijnen]). Dan moet je de oppervlakte van het witte gebied binnen de lila lijnen uitrekenen. Voila, het verschil (blauw gekleurd) is één kwart van de figuur die je zoekt.

[TD]

Het kan vast anders, misschien eenvoudiger, als je van analyse houdt zelfs met integralen, maar hier is een andere poging



Oppervlakte vierkant noem ik S_v, van de cirkel S_c.
De gezochte oppervlakte S is aangeduid in het rood.

Gezocht: S = S_v - 4*(geel + oranje)

Geel + oranje kennen we (nog) niet maar oranje + 2* geel = groen wel, dat is namelijk het vierkant min een kwartcirkel.
Groen = S_v - 1/4 S_c = 1 - pi/4

We moeten nu óf geel (van groen aftrekken), óf oranje (bij groen optellen) vinden. Ik heb geel gezocht. Beschouw de 2 groene lijnstukken die cirkelsectoren (S_sect) afbakenen en een omgekeerde gelijkzijdige driehoek (S_d), vermits we precies tot aan de straal gaan (alle zijden = 1).

De oppervlakte van de 2x de gearceerde cirkelsector + geel is dus S_v - die gelijkzijdige driehoek.
geel = S_v - 2* S_sect - S_d

Een cirkelsector moet hoek a heeft als opperervlake Ra/2. De straal R is hier 1, de hoek pi/6 (30°, want 90°-30° = 60°, de hoek van de gelijkzijdige driehoek).
=> S_sect = pi/12

De hoogte van de driehoek volgt uit pythagoras en is √3/2.
=> S_d = √3/4

==> geel = S_v - 2* S_sect - S_d = 1 - 2*pi/12 - √3/4 = 1 - pi/6 - √3/4

===> (geel+oranje) = groen-geel = (1-pi/4)-(1-pi/6-√3/4) = (3√3-pi)/12

====> S = S_v - 4*(geel + oranje) = 1 - 4*(3√3-pi)/12 = 1 + pi/3 - √3

Dus: S = 1 + pi/3 - √3 ~ 0.3151467436

Hoop ik

Als ik me niet vergis studeert Upior zelf wiskunde

[TD]

Dan moet het met integralen ook geen probleem zijn

Had het zelf geprobeerd en het lukte cartesisch maar dat is knoeiwerk. Poolcoördinaten lijkt me mee aangewezen, maar daar ben ik niet aan begonnen

TD schreef op 08-09-2005 @ 22:59 :
Dan moet het met integralen ook geen probleem zijn

Had het zelf geprobeerd en het lukte cartesisch maar dat is knoeiwerk. Poolcoördinaten lijkt me mee aangewezen, maar daar ben ik niet aan begonnen

je had antwoord klopt

heb het net even op 2 manieren nagerekend, met poolcoordinaten .. en nog een andere leuk manier, met de divergentie-stelling, gaat ook snel, als je het juiste vectorveld enzo kiest

[TD]

dgfdgf schreef op 09-09-2005 @ 01:39 :
je had antwoord klopt

heb het net even op 2 manieren nagerekend, met poolcoordinaten .. en nog een andere leuk manier, met de divergentie-stelling, gaat ook snel, als je het juiste vectorveld enzo kiest

Welk vectorveld had je gekozen? Wil ik ook wel eens proberen dan, had er nog niet aan gedacht om het zo te doen.

[Upior]

Snees schreef op 08-09-2005 @ 22:27 :
Als ik me niet vergis studeert Upior zelf wiskunde

Haha hoe wist je dat?

Dank jullie wel voor de hulp. Dit is een opdracht die ik uit moest werken om te laten zien dat ik met LaTeX en Linux kan omgaan... Ik ben blij als maandag de echte hoorcolleges beginnen.

Upior schreef op 09-09-2005 @ 09:10 :
Haha hoe wist je dat?

Volgens mij heb je op dit forum een jaar geleden iets gepost daarover.

TD schreef op 09-09-2005 @ 08:17 :
Welk vectorveld had je gekozen? Wil ik ook wel eens proberen dan, had er nog niet aan gedacht om het zo te doen.

ik had als vectorveld F = (x/2, y/2) genomen

de divergentie hiervan is immers gelijk aan 1; als je een kwart van het te bepalen oppervlakte neemt, hoef je nergens integralen uit te rekenen om het antwoord te krijgen

probeer maar als het niet lukt, typ ik het nog wel even uit

Vector hier, vector daar

calculus geen enkel bezwaar

[TD]

sddfds schreef op 10-09-2005 @ 01:01 :
ik had als vectorveld F = (x/2, y/2) genomen

de divergentie hiervan is immers gelijk aan 1; als je een kwart van het te bepalen oppervlakte neemt, hoef je nergens integralen uit te rekenen om het antwoord te krijgen

probeer maar als het niet lukt, typ ik het nog wel even uit

Klinkt leuk maar ik zie (nog) niet op welke manier je de stelling dan gebruikt hebt om net de oppervlakte eruit te halen. Kan je iets uitgebreider zijn? Thanks

TD schreef op 10-09-2005 @ 13:17 :
Klinkt leuk maar ik zie (nog) niet op welke manier je de stelling dan gebruikt hebt om net de oppervlakte eruit te halen. Kan je iets uitgebreider zijn? Thanks

tuurlijk

even de tekening erbij ..



neem de linkeronderhoek van het rode vierkant even de oorsprong van een gewoon carthesisch assenstelsel

noem het rode oppervlakte P, een kwart van het rode oppervlak (noem dit gebied Q) wordt dan gegeven door het gebied afgebakend door het pad G, het pad G bestaat uit de samenstelling van:

• het lijnstuk G₁ van [1/2,1/2] naar [1/2,1/2 √3]
• de cirkelboog G₂ van [1/2,1/2 √3] naar [1/2 √3, 1/2]
• het lijnstuk G₃ van [1/2 √3, 1/2] naar [1/2,1/2]

we hebben vervolgens op de drie paden de genormaliseerde gradient nodig (gradient met lengte 1), naar buiten gericht:

• op G₁ is dit dus n = [0,-1],
• op G₃ is dit dus n = [-1,0],
• merk op dat G₂ een deel van de kromme x²+y²=1 is, de gradient op G₂ is [2x,2y], normaliseren levert op n = [x,y], immers de lengte hiervan is √(x²+y²)=√1=1

we nemen het vectorveld F = [x/2, y/2] = (1/2)[x,y]
div F = d/dx (x/2) + d/dy (y/2) = 1/2+1/2 = 1

de divergentiestelling zegt:

int_Q div F dA = int_G F·n ds

tevens weten we dat div F = 1, dus
int_Q 1 dA = int_G F·n ds,
maar int_Q 1 dA is de oppervlakte van Q

dus:

oppQ = int_G F·n ds
oppQ = int_G1 F·n ds + int_G2 F·n ds + int_G3 F·n ds
oppQ = int_G1 [x/2,y/2]·[0,-1] ds + int_G2 [x/2,y/2]·[x,y] ds + int_G3 [x/2,y/2]·[-1,0] ds
oppQ = int_G1 (-y/2) ds + int_G2 (x²+y²)/2 ds + int_G3 (-x/2) ds
2·oppQ = int_G2 (x²+y²) ds - int_G3 x ds - int_G1 y ds

merk nu even op dat:

• x constant is op G₃, namelijk 1/2
• y constant is op G₁, namelijk 1/2,
• x²+y² constant is op G₂, namelijk 1,
• G₂ gaat in poolcoordinaten (r,theta) van (1,Pi/6) naar (1,Pi/3) over de cirkel r=1, dan lengte van G₂ is (Pi/3-Pi/6)=Pi/6

dan volgt:
2·oppQ = int_G2 ds - (1/2) int_G3 ds - (1/2) int_G1 ds
4·oppQ = 2 int_G2 ds - int_G3 ds - int_G1 ds
4·oppQ = 2 int_G2 ds - int_G3 ds - int_G1 ds
oppP = 2 int_G2 ds - int_G3 ds - int_G1 ds
oppP = 2 · Pi/6 - (1/2 √3 - 1/2) - (1/2 √3 - 1/2)
oppP = Pi/3 + 1 - √3

[TD]

Mooi, je had het niet helemaal hoeven uit te werken

Ik zou er bij het oorspronkelijke probleem niet aan gedacht hebben, divergentiestelling leek nogal vergezocht voor dit probleem. Wel leuk