[WIS] bewijzen

[Aesar]

hallo daar allemaal

voor mijn profielwerkstuk over een vierde ruimtelijk dimensie moet ik wiskundig een paar dingen over vierkanten (in alle dimensies) bewijzen. Het begint met het aantal punten in het figuur:

in dimensie 0 is er maar 1 punt
in dimensie 1 kan je een lijn trekken tussen 2 punten
in dimensie 2 heb je een vierkant met 4 (hoek)punten
in dimensie 3 heb je een kubus met 8 (hoek)punten

de 4d variant (hyperkubus) heeft 16 hoekpunten. Dit is zo. Nu moet ik een formule bewijzen, namelijk dat het aantal hoek punten van dit figuur in een bepaalde dimensie n gelijk is 2^n.
Het is niet mogelijk om het stuk voor stuk te bewijzen, dus eerst dacht ik: inductief bewijzen (dat het geld voor n, en n+1). Dit lukt me echter voor geen meter, zou iemand kunnen helpen?

alvast bedankt

Ik zeg dan als natuurkundige: "dat is toch logisch?", maar er is hier vast een wiskundige die het beter kan formuleren.

[Aesar]

Mephostophilis schreef op 07-12-2005 @ 16:19 :
"dat is toch logisch?"

ja precies dat vind ik ook, maarja, ik doe het pws bij wiskunde

Hier staat iets: http://mathworld.wolfram.com/Hypercube.html

[Young Grow Old]

Aesar schreef op 07-12-2005 @ 16:14 :
hallo daar allemaal

voor mijn profielwerkstuk over een vierde ruimtelijk dimensie moet ik wiskundig een paar dingen over vierkanten (in alle dimensies) bewijzen. Het begint met het aantal punten in het figuur:

in dimensie 0 is er maar 1 punt
in dimensie 1 kan je een lijn trekken tussen 2 punten
in dimensie 2 heb je een vierkant met 4 (hoek)punten
in dimensie 3 heb je een kubus met 8 (hoek)punten

de 4d variant (hyperkubus) heeft 16 hoekpunten. Dit is zo. Nu moet ik een formule bewijzen, namelijk dat het aantal hoek punten van dit figuur in een bepaalde dimensie n gelijk is 2^n.
Het is niet mogelijk om het stuk voor stuk te bewijzen, dus eerst dacht ik: inductief bewijzen (dat het geld voor n, en n+1). Dit lukt me echter voor geen meter, zou iemand kunnen helpen?

alvast bedankt

Ik zou proberen te kijken naar de coordinaten van de eenheidskubus.
Zeg bijvoorbeeld:
dimensie 0: hoekpunten (0)
dimensie 1: hoekpunten (0) en (1)
dimensie 2: hoekpunten: (0,0), (0,1), (1,0), (1,1)
dimensie 3: hoekpunten: (0,0,0), (0,0,1), (0,1,0), (0,1,1), (1,0,0), (1,0,1), (1,1,0), (1,1,1)

enz.

Je ziet dus voor dimensie n: neem de hoekpunten van de n-1-kubus, dit is een rijtje van lengte n-1, met alle combinaties van nullen en enen. 'Plak' achter zo'n rijtje een 0 of een 1 om een nieuw hoekpunt te vinden van de n-kubus. Als je een 0 plakt, krijg je in feite hetzelfde punt als voor de n-1-kubus, plak je een 1, dan krijg je een nieuw hoekpunt. Omdat je voor elk hoekpunt een nieuw hoekpunt maakt, krijg je 2 keer zoveel hoekpunten.
Hier is je inductiestap dus.


Je zou natuurlijk ook meteen kunnen concluderen dat je een rijtje van lengte n hebt, met op n plaatsen een 0 of een 1 (2 keuzes dus) en dat je dus 2ⁿ hoekpunten hebt.

[Aesar]

maar is dat ook echt bewijzen? Dat is namelijk mijn voornaamste probleem. Ik heb verklaringen genoeg, want het is zo, maar een echt wiskundig bewijs lukt me niet. Ik ben nu bezig met kijken of ik er misschien een rij van kan maken met als directe formule:
Dn = 2^n

en de (simpele) recursieve formule:
Dn+1 = Dn*2

[Aesar]

Ik ben nu al een eindje verder, maar zit op een nieuw punt vast, namelijk de formules voor het aantal vlakken en kubieken in figuren in hogere dimensies. Eerst zal ik psoten wat ik heb over het aantal punten en lijnen:

Formule voor het vinden van het aantal punten per dimensie van het figuur kubus.
Om de formule te vinden gebruiken we de eenheidsvierkant en eenheidskubus.
Voor de nulde dimensie is maar één coördinaat nodig voor een hoekpunt: in dit geval (0).
In de eerste dimensie is er een lijn tussen de coördinaten (0) en (1). Om hier een eenheidsvierkant van te maken, het tweedimensionale figuur dus, is er voor elk punt twee getallen nodig om de coördinaten te krijgen. Bij elke vorige komt dus een extra hoogte. (0) wordt (0, 0) en krijgt een soort afspiegeling in de nieuwe dimensie, namelijk (0, 1). Voor (1) gebeurt dit ook, dus bij de eenheidsvierkant hebben we de hoekpunten: (0, 0), (0, 1), (1, 0) & (1, 1).
Bij weer een nieuwe dimensie krijgen we de eenheidskubus, met weer van elke voorgaande coördinaten een afspiegeling in de nieuwe richting: (0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 0), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1) zijn de hoekpunt coördinaten, acht in totaal.
Per dimensie omhoog wordt dus elke voorgaande punt gespiegeld in die nieuwe dimensie, en zijn er dus twee keer zoveel hoekpunten. Dit geeft de recursieve formule voor het aantal hoekpunten P in dimensie n:

Pn = (n-1)*2 => Pn+1 = n*2.

Dit begint in de nulde dimensie met daarin 1 punt, waardoor de directe formule voor het aantal hoekpunten in dimensie n wordt:

Pn = 2^n.

Om dan het aantal lijnstukken te vinden moeten we eerst kijken hoe het zit met de lijnstukken. Een lijnstuk loopt tussen twee hoekpunten van het figuur. Maar niet tussen elke twee hoekpunten bevind zich een lijn. Enkel over loodrecht op elkaar staande assen (dus per dimensie) loopt er uit elk hoekpunt één lijnstuk naar een ander hoekpunt, dat slechts op één coördinaat verschilt. Dus vanuit (1, 0, 1) lopen er lijnstukken naar: (1, 0, 0), (1, 1, 1) en (0, 0, 1).
Dit zou de formule geven voor aantal lijnstuk L in dimensie n:

Ln = Pn * n

Maar hierbij wordt vanuit elke hoekpunt een lijnstuk getrokken naar een andere, terwijl er maar één lijnstuk tussen twee hoekpunten loopt. Het aantal moet dus gehalveerd worden. Dit geeft:

Ln = (Pn * n) / 2.

Als we hier de formule voor Pn in vullen krijgen we:

Ln = (2^n * n)/2.

Dit is netter te schrijven, door die deling door twee te zien als keer 2^-1. Dit geeft:

Ln= 2^n * n * 2^-1
Ln = 2^(n-1) * n

nu wil ik ook zo een beredenering maken voor vlakken/kubieken. Voor vlakken is de formule:

2^(n-3) * n * (n-1) oftwel:
(1/2) * n * (n-1) * 2^(n-2)

en voor kubieken:
(2^(n-4) * n * (n-1) * (n-2)) / 3 oftwel:
(1/6)* n * (n-1) * (n-2) * 2^(n-3)


ik hoop echt dat iemand me kan helpen, ik heb zoveel geprobeerd maar het lukt me gewoon niet...

[Aesar]

Kan iemand me helpen? ik zit echt vast en moet vanavond eigenlijk het antwoord hebben...

[Aesar]

Ok ik heb nu dit:

Om aan het aantal vlakken te komen bedenken we eerst dat tussen de originele lijnen in tweede dimensie één vlak is, en in de spiegeling in de volgende dimensie (hier dus de derde) is er ook al één. Bovendien ontstaan er vier nieuwe, tussen de vier nieuwe lijnen die de twee vierkanten tot een kubus maken weer vier nieuwe vlakken. Dat maakt zes in totaal voor de derde dimensie. Als we dan een hyperkubus maken ontstaat er weer een afspiegeling in de volgende dimensie (nu de vierde). Dan zijn er al 2 * 6 = 12 vlakken. Tussen de twaalf verbindingslijnen die ontstaan tussen de eerste kubus en de afspiegeling onstaan dan weer twaalf nieuwe vlakken, dus 24 in totaal. Om een formule te vinden gebruiken we eerst dan er per dimensie n vlakken aan elke lijn zitten. Maar één vlak grenst aan vier lijnen, dus krijgen we:

Vn = (2^(n-1) * n) /4
Vn = 2^(n-1) * n * ¼
Vn = 2^(n-1) * n * 2^-2
Vn = 2^(n-3) * n

nu moet ik nog verklaren waarom bij vlakken het aantal nog met (n-1) dus de dimensie ervoor moet worden vermenigvuldigt