Afgeleide

hoe bereken ik de afgeleide van een abs functie?
bijv: |3x+5|

[Safe]

Dat moet je doen door 'splitsen'.

Alg: |a|=a als a>=0
...... |a|=-a als a<0

Dus: |3x+5|=3x+5 als 3x+5>=0 <=> x>=-5/3
....... |3x+5|=-3x-5 als 3x+5<0 <=> x<-5/3
En nu kan je normaal differentiëren!
Het gebied (bv x>=-5/3) hoort er wel steeds bij.

[bloed]

Safe schreef op 23-02-2006 @ 20:01 :
Dat moet je doen door 'splitsen'.

Alg: |a|=a als a>=0
...... |a|=-a als a<0

Dus: |3x+5|=3x+5 als 3x+5>=0 <=> x>=-5/3
....... |3x+5|=-3x-5 als 3x+5<0 <=> x<-5/3
En nu kan je normaal differentiëren!
Het gebied (bv x>=-5/3) hoort er wel steeds bij.

Conclusie dus: met abs of zonder maakt het niet uit!!??

[mathfreak]

Keibnis schreef op 23-02-2006 @ 18:59 :
hoe bereken ik de afgeleide van een abs functie?
bijv: |3x+5|

Er geldt: |f(x)|=f(x) als f(x) groter of gelijk is aan 0, en |f(x)|=-f(x) als f(x) kleiner is dan nul. Voor bovengenoemde functie betekent dit dat |3*x+5| gelijk is aan 3*x+5 voor x groter of gelijk aan -5/3. Voor die waarden van x is de afgeleide gelijk aan 3. Voor x<-5/3 is |3*x+5| gelijk aan -3*x-5, en is de afgeleide gelijk aan -3.

[TD]

Als aanvulling op Safe en mathfreak wil ik opmerken dat het mogelijk is om dit in "één afgeleide" te noteren door gebruik te maken van zogenaamde 'signum-functie' (sign(x) of sgn(x)), deze geeft 1 terug als x positief is en -1 als x negatief is (0 voor x = 0).

Je krijgt dan: (|3x+5|)' = 3*sgn(3x+5)

Dit is uiteraard consistent met de antwoorden die eerder gegeven zijn.

ik had het gedaan zoals safe het deed, maar in het antwoorden boek staat voor de afgeleide van|2x-1| (2|2x-1|)/(2x-1)
???

[TD]

keibnis schreef op 23-02-2006 @ 22:46 :
ik had het gedaan zoals safe het deed, maar in het antwoorden boek staat voor de afgeleide van|2x-1| (2|2x-1|)/(2x-1)
???

|2x-1|/(2x-1) kan je wegdelen, precies op het teken na.

[Young Grow Old]

TD schreef op 23-02-2006 @ 20:15 :
Als aanvulling op Safe en mathfreak wil ik opmerken dat het mogelijk is om dit in "één afgeleide" te noteren door gebruik te maken van zogenaamde 'signum-functie' (sign(x) of sgn(x)), deze geeft 1 terug als x positief is en -1 als x negatief is (0 voor x = 0).

Je krijgt dan: (|3x+5|)' = 3*sgn(3x+5)

Dit is uiteraard consistent met de antwoorden die eerder gegeven zijn.

En in het punt x=-5/3 dan? Hier geeft de signumfunctie 0, terwijl de functie in dat punt niet differentieerbaar is.

Ik reken het meestal uit door |3x+5| te lezen als sqrt((3x+5)^2) en dan de kettingregel te gebruiken. Dit levert:
3*(3x+5)/|3x+5|. Deze is dus ook niet gedefinieerd in x=-5/3.

[mathfreak]

Young Grow Old schreef op 24-02-2006 @ 12:06 :
En in het punt x=-5/3 dan? Hier geeft de signumfunctie 0, terwijl de functie in dat punt niet differentieerbaar is.

Correct opgemerkt. Merk overigens op dat de linker- en de rechterafgeleide voor x=-5/3 wel bestaan, maar dat ze verschillend zijn. Algemeen geldt dat |f(x)| voor f(x)=0 wel links- en rechtsdifferentieerbaar is, maar niet differentieerbaar omdat de linker- en de rechterafgeleide voor f(x)=0 verschillend zijn.

Young Grow Old schreef op 24-02-2006 @ 12:06 :

Ik reken het meestal uit door |3x+5| te lezen als sqrt((3x+5)^2) en dan de kettingregel te gebruiken. Dit levert:
3*(3x+5)/|3x+5|. Deze is dus ook niet gedefinieerd in x=-5/3.

Als we dit generaliseren voor g(x)=|f(x)| geeft dit: g(x)=sqrt[(f(x))²], dus g'(x)=2*f'(x)*f(x)*1/2/sqrt[(f(x))²]=f'(x)*f(x)/sqrt[(f(x))²]
=f'(x)*f(x)/|f(x)|, en hieruit volgt dan meteen dat |f(x)| niet differentieerbaar is voor f(x)=0.