[WI,B] Lengte van lijnstuk, afgeleide

Gegeven zijn de functies f(x) = e^x en g(x) = e-e^(-x + 2).
De lijn x = p snijdt de grafiek van f in het punt A en de grafiek van g in het punt B.

Nu moet ik algebraisch berekenen voor welke waarde van p het lijnstuk AB minimaal is.

------

e^x = p
x = ln(p)

p = e-e^(-x=2)
p-e = -e^(-x+2)
-p + e = e^(-x+2)
ln(-p+e) = -x+2
ln(-p+e) -2 = -x
-ln(-p+e) +2 = x

Dus:
-ln(-p+e) +2 - ln(p)

Hier moet ik dan de afgeleide van hebben zodat ik deze gelijk kan stellen aan 0.

Nu heb ik 2 vragen; klopt dit zover?
En zo ja, hoe bereken ik hier ook alweer de afgeleide?

[sdekivit]

voorzover ik zie zijn er geen fouten in wat je tot nu toe hebt.

de afgeleide ga je nu bepalen over p natuurlijk. Je maakt gebruik van de somregel:

-ln (-p+e) wordt dan: -1/(-p+e) * -1 = 1/(-p+e) (let erop dat e gewoon een getal is )

-ln p wordt dan: -1/p

somregel toepassen levert dan als afgeleide:

1/(-p+e) - 1/p

en dat moet je glijk stellen aan 0 en daarom moet je de noemers gelijk maken:

(1/(-p+e) * p/p) - ((-p+e) / p(-p+e)) = p/(p(-p+e)) + (p+e) / (p(-p+e))

en dat is gelijk aan:

(2p + e) / (p(-p+e)) = 0

--> 2p + e = 0 --> p = -e/2

[Safe]

@Happyyy
Je hebt dit 'opgelost' voor y=p en niet voor x=p!!!

Volgens het geg gaat het om de lijn x=p dus evenwijdig de y-as!!!
y_A=e^p en y_B=e-e^(-p+2) (y_A is y-waarde punt A)
Noem l(p)(=AB)=e^p-e+e^(-p+2)
(nog wel nagaan af AB positief is, anders het tegengestelde nemen)
...
Antwoord: p=1 en l(1)=e (min lengte AB)

@sdekivit
0<p<e!!!

Safe schreef op 19-02-2006 @ 16:25 :
@Happyyy
Je hebt dit 'opgelost' voor y=p en niet voor x=p!!!

Volgens het geg gaat het om de lijn x=p dus evenwijdig de y-as!!!
y_A=e^p en y_B=e-e^(-p+2) (y_A is y-waarde punt A)
Noem l(p)(=AB)=e^p-e+e^(-p+2)
(nog wel nagaan af AB positief is, anders het tegengestelde nemen)
...
Antwoord: p=1 en l(1)=e (min lengte AB)

l(p)(=AB)=e^p-e+e^(-p+2)
Wat is hier de afgeleide van dan?

[Safe]

De afgeleide van de functie f(x)=e^x naar x is f'(x)=e^x. (dit weet je toch wel?)
Dus wordt: l'(p)=e^p-e^(-p+2) (denk aan de kettingregel!)

sdekivit schreef op 18-02-2006 @ 16:06 :
voorzover ik zie zijn er geen fouten in wat je tot nu toe hebt.

de afgeleide ga je nu bepalen over p natuurlijk. Je maakt gebruik van de somregel:

-ln (-p+e) wordt dan: -1/(-p+e) * -1 = 1/(-p+e) (let erop dat e gewoon een getal is )

-ln p wordt dan: -1/p

somregel toepassen levert dan als afgeleide:

1/(-p+e) - 1/p

en dat moet je glijk stellen aan 0 en daarom moet je de noemers gelijk maken:

(1/(-p+e) * p/p) - ((-p+e) / p(-p+e)) = p/(p(-p+e)) + (p+e) / (p(-p+e))

en dat is gelijk aan:

(2p + e) / (p(-p+e)) = 0

--> 2p + e = 0 --> p = -e/2

Bij p= -e/2 komt de lijn toch onder de x-as? Dat kan toch nooit?

@Safe; bedankt ja. Ik was 't even allemaal kwijt, maar ik weet 't weer