[WI] Meetkundig gemiddelde

[Saarah]

Hoi,
Ik heb hulp nodig met de volgende opgave:

Toon aan dat het rekenkundig gemiddelde van twee verschillende strikt positieve reële getallen a en b groter is dan hun meetkundig gemiddelde.

Bedankt alvast!

[sdekivit]

neem aan dat je wel een vergelijking kunt maken.

iig: het geometrisch of meetkundig gemiddelde van een een getallenrij is het teruggetransformeerde gemiddelde van de natuurlijke logaritmen van de getallen in de getallenrij (dus de e-macht van het gemiddelde van de natuurlijke logaritmen)

[mathfreak]

Saarah schreef op 03-05-2006 @ 17:52 :
Hoi,
Ik heb hulp nodig met de volgende opgave:

Toon aan dat het rekenkundig gemiddelde van twee verschillende strikt positieve reële getallen a en b groter is dan hun meetkundig gemiddelde.

Bedankt alvast!

Laat a en b gegeven zijn, dan is het rekenkundig gemiddelde R gelijk aan 1/2(a+b) en het meetkundig gemiddelde M gelijk aan sqrt(a*b). Dit betekent dat je moet aantonen: R>M, dus 1/2(a+b)>sqrt(a*b), dus a+b>2*sqrt(a*b), dus a+b>sqrt(4*a*b).
Nu geldt: (a+b)²-4*a*b=a²+2*a*b+b²-4*a*b=a²-2*a*b+b²=(a-b)²>0, dus (a+b)²-4*a*b>0, dus (a+b)²>4*a*b, dus a+b>sqrt(4*a*b), dus a+b>2*sqrt(a*b), dus 1/2(a+b)>sqrt(a*b), dus R>M, wat te bewijzen was.

[Not for Sale]

mathfreak, ik vind dat je op zich heel behulpzaam bezig bent op Exacte Vakken, maar volgens mij zou je voor velen helderder en beter te volgen zijn als je in je redenaties wat meer enters gebruikte

[Saarah]

Bedankt!