0,9~ = 1

wouser · **17-05-2006, 13:57**

Kan iemand mij helpen van het aantonen dat

0,99999 (oneindig 0,9~) = 1

0,9~ = 1

**17-05-2006, 14:29**

Ik denk dat een solide bewijs iets straffer moet (via Dedekind of Cauchy?), maar het komt erop neer dat er geen enkel getal x bestaat, zodanig dat 0,999...999 < x < 1. Anders gezegd: 0,9999...999 = 1 - a, waar a heel klein is en naar 0 gaat. Bekend is: lim 1-a [a->0] = 1.

TD · **17-05-2006, 16:58**

Als je een 'oneindig' aantal negens bedoelt dan kan je die uitdrukking beschrijven als de limiet van een sommatie (of direct een oneindige som natuurlijk). Dan geldt:

lim(n->oneindig) ( sum(m = 1

) 9/10^n ) = 1

wouser · **17-05-2006, 18:23**

Euh ok kan het iets duidelijker

TD · **17-05-2006, 18:55**

We kunnen die 0.999..... schrijven als:

0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + ...
= 9/10 + 9/10² + 9/10³ + ...

In het algemeen: 9/10^n waarbij n loopt van 1 tot oneindig en je ze allemaal optelt.

Verkort genoteerd met een sommatie en/of limiet zoals hierboven.
Dit is trouwens een meetkundige reeks, de rede van de rij is 1/10.

De som is exact 1.

wouser · **17-05-2006, 19:28**

k bedankt had het daarnet al zelf opgelost :x

had zo gedaan dat

x = 0.9~
10x = 9.9~
10x-x = 9.9~ - 0.9~
9x = 9
x = 1

maar evengoed bedankt

TD · **17-05-2006, 19:33**

Dat mag (althans om het aannemelijk te maken), maar is wiskundig wat minder 'netjes'.

bulbanos · **17-05-2006, 19:43**

http://qntm.org/pointnine

TD · **17-05-2006, 19:47**

Ik was een beetje bang omdat ik alleen maar van die 'bewijsjes' zag, totdat 'The real proof' kwam, zoals hierboven.

**17-05-2006, 22:12**

Citaat:

TD schreef op 17-05-2006 @ 18:55 :
We kunnen die 0.999..... schrijven als:

0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + ...
= 9/10 + 9/10² + 9/10³ + ...

In het algemeen: 9/10^n waarbij n loopt van 1 tot oneindig en je ze allemaal optelt.

Verkort genoteerd met een sommatie en/of limiet zoals hierboven.
Dit is trouwens een meetkundige reeks, de rede van de rij is 1/10.

De som is exact 1.

Netjes, veel meer elementair!

TD · **17-05-2006, 22:14**

Bedankt, maar dat is een klassieke aanpak (dus niet uit m'n eigen duim gezogen

)

**18-05-2006, 23:47**

Je kunt het ook op z'n jan-boerenfluitjes als volgt:

x = 0,999...
x/3 = 0,333... = 1/3
x = 1

Maar dat is vast ook niet zo 'netjes'.

TD · **19-05-2006, 00:08**

Citaat:

Mephostophilis schreef op 18-05-2006 @ 23:47 :
Maar dat is vast ook niet zo 'netjes'.

Maar dat is geen bezwaar voor een TN'er

GinnyPig · **19-05-2006, 11:09**

Natuurkundigen maken gebruik van wel raardere zaken. Neem bijvoorbeeld de volgende uitkomst:

1 + 2 + 3 + 4 + ... = -1/12

Een sommatie die uiteindelijk een indicatie geeft van het aantal dimensies in bosonische snaartheorie: 26.

**19-05-2006, 12:14**

En ik was al verbaasd dat de som van 2^n van n=0 tot oneindig uitkomt op (1-2^2)^-1 = -1/3...

Soortgelijke topics
Forum	Topic	Reacties	Laatste bericht
Huiswerkvragen: Exacte vakken	[WI] vergelijkingen JJoosje	6	07-10-2010 22:54
HAVO	Economie 1,2 Adrenaline	127	27-05-2005 19:53
Huiswerkvragen: Exacte vakken	Geavanceerd tellen eeeeeediot	6	09-02-2005 20:30
Nieuws, Achtergronden & Wetenschap	europese verkiezingen: wat stem jij? Verwijderd	338	13-06-2004 10:57
De Kantine	Wat staat er onder je control+v? fractuur	499	06-04-2004 16:22
Software & Hardware	Os 9.1 peewee1987	1	15-02-2003 21:50

17-05-2006, 13:57
wouser	Kan iemand mij helpen van het aantonen dat 0,99999 (oneindig 0,9~) = 1 0,9~ = 1 __________________ Fealty With Love. Valour With Honor. Disloyalty With Vengeance.

17-05-2006, 14:29
Verwijderd	Ik denk dat een solide bewijs iets straffer moet (via Dedekind of Cauchy?), maar het komt erop neer dat er geen enkel getal x bestaat, zodanig dat 0,999...999 < x < 1. Anders gezegd: 0,9999...999 = 1 - a, waar a heel klein is en naar 0 gaat. Bekend is: lim 1-a [a->0] = 1. Laatst gewijzigd op 17-05-2006 om 14:51.

17-05-2006, 16:58
TD	Als je een 'oneindig' aantal negens bedoelt dan kan je die uitdrukking beschrijven als de limiet van een sommatie (of direct een oneindige som natuurlijk). Dan geldt: lim(n->oneindig) ( sum(m = 1) 9/10^n ) = 1 __________________ "God has not created man, but man created God." (L. Feuerbach)

17-05-2006, 18:23
wouser	Euh ok kan het iets duidelijker __________________ Fealty With Love. Valour With Honor. Disloyalty With Vengeance.

17-05-2006, 19:28
wouser	k bedankt had het daarnet al zelf opgelost :x had zo gedaan dat x = 0.9~ 10x = 9.9~ 10x-x = 9.9~ - 0.9~ 9x = 9 x = 1 maar evengoed bedankt __________________ Fealty With Love. Valour With Honor. Disloyalty With Vengeance.

17-05-2006, 19:33
TD	Dat mag (althans om het aannemelijk te maken), maar is wiskundig wat minder 'netjes'. __________________ "God has not created man, but man created God." (L. Feuerbach)

17-05-2006, 19:47
TD	Ik was een beetje bang omdat ik alleen maar van die 'bewijsjes' zag, totdat 'The real proof' kwam, zoals hierboven. __________________ "God has not created man, but man created God." (L. Feuerbach)

17-05-2006, 22:14
TD	Bedankt, maar dat is een klassieke aanpak (dus niet uit m'n eigen duim gezogen ) __________________ "God has not created man, but man created God." (L. Feuerbach)

18-05-2006, 23:47
Verwijderd	Je kunt het ook op z'n jan-boerenfluitjes als volgt: x = 0,999... x/3 = 0,333... = 1/3 x = 1 Maar dat is vast ook niet zo 'netjes'.

19-05-2006, 11:09
GinnyPig	Natuurkundigen maken gebruik van wel raardere zaken. Neem bijvoorbeeld de volgende uitkomst: 1 + 2 + 3 + 4 + ... = -1/12 Een sommatie die uiteindelijk een indicatie geeft van het aantal dimensies in bosonische snaartheorie: 26. __________________ O_o

Advertentie

17-05-2006, 19:43
bulbanos	http://qntm.org/pointnine

19-05-2006, 12:14
Verwijderd	En ik was al verbaasd dat de som van 2^n van n=0 tot oneindig uitkomt op (1-2^2)^-1 = -1/3...