[WIS] buiglijnen

[gijsss]

Ik had even een vraagje,

gegeven is de functie f(x) = (ln x)^2 + 2 ln x - 2
dan staan er wat vragen over buigraaklijnen en coordinaten van de buigpunten en ook:
'er zijn 2 lijnen vanuit O die de grafiek van f raken. Stel van elk van deze lijnen een vergelijking op.'

en daar kwam ik niet uit, ik had gewoon te weinig gegeven ed, maar dan staat er bij de uitwerkingen

'de x-coordinaat van de raakpunten is een oplossing van f'(x) = ( f(x) / x )'

en dat snap ik niet. Is dit een regeltje wat ik moet kennen? geldt dit voor elke grafiek of alleen omdat de grafiek een buigpunten heeft?

alvast bedankt

[mathfreak]

gijsss schreef op 18-04-2007 @ 19:57 :
Ik had even een vraagje,

gegeven is de functie f(x) = (ln x)^2 + 2 ln x - 2
dan staan er wat vragen over buigraaklijnen en coordinaten van de buigpunten en ook:
'er zijn 2 lijnen vanuit O die de grafiek van f raken. Stel van elk van deze lijnen een vergelijking op.'

en daar kwam ik niet uit, ik had gewoon te weinig gegeven ed, maar dan staat er bij de uitwerkingen

'de x-coordinaat van de raakpunten is een oplossing van f'(x) = ( f(x) / x )'

en dat snap ik niet. Is dit een regeltje wat ik moet kennen? geldt dit voor elke grafiek of alleen omdat de grafiek een buigpunten heeft?

alvast bedankt

Een lijn door O heeft de vergelijking y=a*x. Omdat deze lijn de grafiek van f moet raken geldt: f(x)=a*x en f'(x)=a. Blijkbaar geldt in dit geval dus: f'(x)=a*x/x=f(x)/x. Je maakt hier gebruik van de regel dat de grafieken van f en g elkaar raken als f(x)=g(x) en f'(x)=g'(x).
Omdat de x-coördinaat van de raakpunten te vinden is uit f'(x)=f(x)/x moeten we dus 2*ln(x)/x+2/x=(ln²(x)+2*ln(x)-2)/x oplossen, ofwel 2*ln(x)+2=ln²(x)+2*ln(x)-2, dus ln²(x)-4=0, dus (ln(x)-2)(ln(x)+2)=0, dus ln(x)-2=0 of ln(x)+2=0, dus ln(x)=2 of ln(x)=-2, dus x=e² of x=e^-2. Voor x=e² geldt: f'(x)=a=e^-2*2*ln(e²)+2*e^-2
=4*e^-2+2*e^-2=6*e^-2, dus dit geeft de raaklijn y=6*e^-2*x. Voor x=e^-2 geldt: f'(x)=a=e²*2*ln(e^-2)+2*e²=-4*e²+2*e²=-2*e², dus dit geeft de raaklijn y=-2*e²*x.

[gijsss]

jaa, toen ik die formule gebruikte kwam ik daar ook op uit bedankt

maar je zegt 'Blijkbaar geldt in dit geval dus: f'(x)=a*x/x=f(x)/x. '
waarom geldt het in dit geval? omdat het een raaklijn door O is? of om iets anders?

[mathfreak]

gijsss schreef op 18-04-2007 @ 22:54 :
jaa, toen ik die formule gebruikte kwam ik daar ook op uit bedankt

Graag gedaan.

gijsss schreef op 18-04-2007 @ 22:54 :
maar je zegt 'Blijkbaar geldt in dit geval dus: f'(x)=a*x/x=f(x)/x. '
waarom geldt het in dit geval? omdat het een raaklijn door O is? of om iets anders?

Het heeft inderdaad te maken met het feit dat er sprake is van een raaklijn door O. Je hebt een gegeven functie f, en de raaklijn door O is een functie g met g(x)=a*x. Omdat de grafieken van f en g elkaar raken geldt: f(x)=g(x) en f'(x)=g'(x), dus f(x)=a*x en f'(x)=a, dus f'(x)=a*x/x=f(x)/x.