kwadratische formules

jullie zullen vast iets beters te doen hebben met dit weer maar toch

ik moet 2 po's maken maar snap er niks van, ik heb 2 repetitie's gekregen over kwadratische formule's en die moet ik maken en inleveren als po

a. x^2-8x+15=0

los zo mogelijk de volgende vergelijkingen op schrijf je tussenstappen op, ornd zo nodig af op 2 decimalen...

iemand die me kan helpen, of een goeie hulpsite weet

[dutch gamer]

Een kwadratische vergelijking heeft de vorm ax²+bx+c = 0. Je wil de ax²+bx+c zo mogelijk schrijven als een product in de vorm (x+d)(x+e), aangezien je dan kan stellen dat óf x+d óf x+e gelijk aan 0 is (beiden kan ook). Hieruit volgt dan weer dat x = -d of x = -e.

Het probleem zit hem nu in het vinden van de d en de e. Uitwerken van (x+d)(x+e) levert:
(x+d)(x+e) = x²+ (d+e)X + de

Dit betekent dus dat (d+e) gelijk moet zijn aan de b in de eerder gegeven formule. Verder moet d*e gelijk zijn aan de c. (Ervan uitgaande dat a = 1. Als a niet gelijk is aan 1, kun je het beste eerst alles delen door a).

In jouw geval gaat het er dus om dat je een d en een e vindt, waarvan het product gelijk is aan 15 en de som gelijk is aan -8. Er zijn veel getallencombinaties waarvan het product gelijk is aan 15, maar hier komt een beetje inzicht bij kijken. 1 en 15 hebben bijvoorbeeld als som 16 en dus niet -8. De getallen 3 en 5 hebben wel het product 15, maar de som 8. Zoals je echter wel weet is -3*-5 gelijk aan 3*5, maar is de som van -3 en -5 wel -8. Je d en e zijn dus (in willekeurige volgorde) -3 en -5. En aangezien x gelijk was aan -d of -e is je eindantwoord dus x = 3 of x = 5.

Gebruik hiervoor de abc-formule.
http://wiskunde.hacom.nl/index.php?id=1&gr=1

Eerst maar eens de discriminant uitrekenen:
D = b^2 - 4ac
D = 8^2 - 60
D = 4

Dus D > 0 , er zijn dus 2 oplossingen.

Nu de rest van de formule:

x = -b +/- sqrt( D ) / 2a
x = 8 +/- 2 / 2
x = 3 of x = 5

(misschien niet zo'n nette notitie met die +/- maar het betekent dus dat je zowel de formule met + moet uitrekenen als met - )

Dit vond ik zelf altijd veel makkelijker dan wat hierboven me geschreven staat. Gewoon formule invullen en 't is duidelijk.

[Swlabr]

dutch gamer schreef op 15-04-2007 @ 17:58 :
Een kwadratische vergelijking heeft de vorm ax²+bx+c = 0. Je wil de ax²+bx+c zo mogelijk schrijven als een product in de vorm (x+d)(x+e), aangezien je dan kan stellen dat óf x+d óf x+e gelijk aan 0 is (beiden kan ook). Hieruit volgt dan weer dat x = -d of x = -e.

Het probleem zit hem nu in het vinden van de d en de e. Uitwerken van (x+d)(x+e) levert:
(x+d)(x+e) = x²+ (d+e)X + de

Dit betekent dus dat (d+e) gelijk moet zijn aan de b in de eerder gegeven formule. Verder moet d*e gelijk zijn aan de c. (Ervan uitgaande dat a = 1. Als a niet gelijk is aan 1, kun je het beste eerst alles delen door a).

In jouw geval gaat het er dus om dat je een d en een e vindt, waarvan het product gelijk is aan 15 en de som gelijk is aan -8. Er zijn veel getallencombinaties waarvan het product gelijk is aan 15, maar hier komt een beetje inzicht bij kijken. 1 en 15 hebben bijvoorbeeld als som 16 en dus niet -8. De getallen 3 en 5 hebben wel het product 15, maar de som 8. Zoals je echter wel weet is -3*-5 gelijk aan 3*5, maar is de som van -3 en -5 wel -8. Je d en e zijn dus (in willekeurige volgorde) -3 en -5. En aangezien x gelijk was aan -d of -e is je eindantwoord dus x = 3 of x = 5.

Waarom moeilijk doen als het ook makkelijk kan?

[mathfreak]

Darkiekurd schreef op 15-04-2007 @ 18:16 :
Waarom moeilijk doen als het ook makkelijk kan?

Dat hangt er maar net van af wat je moeilijk en wat je makkelijk wilt noemen. Over het algemeen zijn er voor het oplossen van de vergelijking a*x²+b*x+c=0 3 mogelijkheden: ontbinden in factoren, kwadraatafsplitsen of de abc-formule gebruiken.
Wil a*x²+b*x+c ontbonden kunnen worden in factoren, dan kan dat alleen als er 2 getallen p en q te vinden zijn, zodat a*x²+b*x+c=a(x-p)(x-q), dus p+q=-b/a en p*q=c/a. Voor a=1 geeft dit: p+q=-b en p*q=c. In het gegeven voorbeeld x²-8*x+15 geldt: p+q=8 en p*q=15. Als we 15 in factoren ontbinden, vinden we onder andere de factoren p=3 en q=5. Omdat p en q aan de gestelde voorwaarden voldoen kunnen we dus schrijven: x²-8*x+15=(x-3)(x-5).
Kwadraatafsplitsen is altijd mogelijk. We schrijven a*x²+b*x+c dan in de vorm a(x-r)²+s. Hieruit valt overigens ook de abc-formule af te leiden, die we echter alleen gebruiken als a*x²+b*x+c niet in factoren kan worden ontbonden.

[dutch gamer]

Darkiekurd schreef op 15-04-2007 @ 18:16 :
Waarom moeilijk doen als het ook makkelijk kan?

Tsja. Dit was zon duidelijk geval van ontbinden in factoren dat de ts niet snapte, dus ik legde even het idee uit van ontbinden in factoren. Ik kan wel gewoon zeggen "gooi het in de abc formule", maar ik neem aan dat de ts die niet goed genoeg "beheerst", anders had hij/zij dit zelf wel op kunnen lossen. Gewoon een abc formule invullen zonder te weten waar hij vandaan komt vind ik ook zo flauw, en bovendien gaf het mij op de middelbare school (en nu nog steeds eigenlijk) veel meer voldoening als ik de abc formule niet nodig had om een oplossing te vinden.

En in dit geval is het nog eens 100 keer sneller ook dan eerst heel de abc formule uit te rekenen.

[Swlabr]

Zou je mij dat ontbinden in factoren kunnen uitleggen? Ik zou het appreciëren.

[mathfreak]

Darkiekurd schreef op 15-04-2007 @ 20:09 :
Zou je mij dat ontbinden in factoren kunnen uitleggen? Ik zou het appreciëren.

Zie in dat verband mijn eerste reply in http://forum.scholieren.com/showthre...inden+factoren

[Swlabr]

Dank je wel!

[dutch gamer]

Zie mathfreak + mijn eerste post in dit topic (dat was dus ontbinden in factoren). Veel beter kan ik het persoonlijk niet uitleggen .

Edit: ow je snapt het al zie ik .

[mathfreak]

Darkiekurd schreef op 15-04-2007 @ 20:23 :
Dank je wel!

Graag gedaan.

[Swlabr]

Duurt het niet erg lang om dat te doen?

[WelVrolijk]

Ontbinden in factoren is een stuk sneller, maar het "werkt" niet altijd.

Kwadraat afsplitsen (of abc formule) is een algemenere methode.

---------------

Als je het (correct) oplost met ontbinden in factoren, zal dat *altijd* goed worden gerekend (tenzij er expliciet staat: los op met de abc formule).

Vroeger werd kwadraat afsplitsen ook altijd goed gerekend.
En in principe komt de abc-formule op hetzelfde neer als kwadraat afsplitsen.

Andijvie schreef op 15-04-2007 @ 17:59 :
Dus D > 0 , er zijn dus 2 oplossingen.

Een kwadratische vergelijking heeft altíjd twee oplossingen. Die zijn echter niet altijd reëel.

[Supersuri]

Mephostophilis schreef op 15-04-2007 @ 22:40 :
Een kwadratische vergelijking heeft altíjd twee oplossingen. Die zijn echter niet altijd reëel.

X^2 = 0 heeft toch echt maar 1 oplossing.

Supersuri schreef op 17-04-2007 @ 13:37 :
X^2 = 0 heeft toch echt maar 1 oplossing.

1 geometrische, 2 algebraïsche

[WelVrolijk]

In feite dus gewoon 1 oplossing.

En om het regeltje kloppend te maken, tellen wij die oplossing gewoon dubbel.

[Barry K]

WelVrolijk schreef op 17-04-2007 @ 22:50 :
In feite dus gewoon 1 oplossing.

En om het regeltje kloppend te maken, tellen wij die oplossing gewoon dubbel.

Is het niet zo dat de uitkomsten 0 en -0 zijn?

[WelVrolijk]

Barry K schreef op 17-04-2007 @ 23:43 :
Is het niet zo dat de uitkomsten 0 en -0 zijn?

Nee.

-0 is hetzelfde als 0.