[WI] Ontbinden in factoren

[boukekoppejan]

hey allemaal,

kan iemand mij uitleggen hoe ik dit moet oplossen?

moet ontbind in factoren

x2-2x-63

4x2 + 36

2b2 - 12

3x2 + 9x -30

Kan iemand mij hier stap voor stap uitleggen hoe je dat moet doen?

ps de getal na de x is een exponent

alvast heel erg bedankt!

gr

bouke

[mathfreak]

Zie mijn eerste reply in http://forum.scholieren.com/showthre...inden+factoren

[boukekoppejan]

hey,

mathfreak zou jij mij 1 rekensom die ik als voorbeeld had, uit kunnen leggen?

gr

bouke

[Nilssiej]

boukekoppejan schreef:

hey,

mathfreak zou jij mij 1 rekensom die ik als voorbeeld had, uit kunnen leggen?

gr

bouke

Kijk naar x^2-2x-63, en zoek twee getallen die bij vermenigvuldigen -63 opleveren en bij optellen -2. Ga een rijtje getallen af.

-63 en 1 (opgeteld geeft dit -62, en dit klopt niet; je moet opgeteld -2 krijgen)
-21 en 3 (opgeteld geeft dit -18, klopt ook niet)
9 en -7 (opgeteld geeft dit 2, klopt niet, maar je komt wel in de buurt!)
-9 en 7 (opgeteld geeft dit -2, en -9*7=-63, je hebt dus de ontbinding gevonden!)
Dit geeft dus:
(x-9)(x+7)

[Gemenerik]

Bij dit soort berekeningen worden er altijd getallen gebruikt die je gemakkelijk kunt vermenigvuldigen / delen met elkaar. De bekende ontbindmethode heet ook wel som-product methode.

Een voorbeeldje:

x² + 5x + 6

De bedoeling is nu dat je 2 getallen vind die samen 5 zijn (dus gelijk aan het getal voor de x).

Logisch is natuurlijk de getallen 2 en 3 want 2*3 = 6 en 2 + 3 = 5

Dus nu kan je de gegeven som als ontbinding noteren namelijk:

(x+2)(x+3) = x² + 5x + 6

[boukekoppejan]

ok maar welke ik dan moeilijk vind is

4x^2 + 36

gr

bouke

[Nilssiej]

boukekoppejan schreef:

ok maar welke ik dan moeilijk vind is

4x^2 + 36

gr

bouke

Deze is juist erg gemakkelijk. x of x^2 kun je niet buiten haakjes halen, immers, 36 bevat niets van x. 4 kun je wel buiten haakjes halen. Maar, dan moet je 36 wel delen door 4. Je krijgt:

4(x^2+9)

[ILUsion]

Bij het ontbinden van veeltermen, moet je uiteindelijk uitkomen met een product van eentermen (ax + b) en/of tweetermen (ax² + bx + c) en eventueel een constante. Let wel: tweetermen zijn soms nog ontbindbaar in 2 eentermen zoals hierboven reeds vermeld (en in dat geval moet je die tweeterm ook schrijven als product van 2 eentermen).

Meestal komt het erop neer om een gemeenschappelijk deel voorop te brengen (hebben al je termen bv. een x; dan breng je die x buiten; is er een bepaalde constante overal gemeenschappelijk, mag je hetzelfde doen). In de post van mathfreak in het andere topic staan de meest frequente regeltjes wel. De som-productregel voor tweetermen staat hier ook uitgelegd (dus x² + Sx + P kan ontbonden worden als (x - a)(x - b) voor a*b = P en a + b = S). Dat is soms wat uitproberen. Ook bestaan er regeltjes om deelbaarheid door (x - 1) en (x + 1) makkelijk te zien: voor x + 1: de som van de evenmachtscoëfficiënten (dus de constante term en de coëfficiënten bij x², ...) is gelijk aan de som van de onevenmachtscoëfficiënten (de coëfficiënten bij x, x³, ...); voor x - 1: de som van alle coëfficiënten is 0. Die laatste 2 trucjes hoef je trouwens niet te gebruiken, maar ze zijn soms wel handig.

Een andere methode is door delers te gokken: stel dat je een veelterm hebt, je gokt een deler; dan kan je met het rekenschema van Horner. (Moest je het vergeten zijn: je moet als rest (laatste vakje rechtsonder in het hornerschema) 0 uitkomen, en dan heb je een deler gevonden). Deze methode is enkel aan te raden als je al wat ervaring hebt met het ontbinden, omdat je zo vrij snel kan zien of je gok klopt.

Voor tweetermen bestaat er bovendien een methode die altijd werkt; maar die niet zo'n leuke berekeningen oplevert (hij verdient dus NIET de voorkeur, maar soms moet je hem nu eenmaal gebruiken omdat het niet anders kan). Als je een tweeterm ax² + bx + c hebt, kan je daarvan de discriminant berekenen D = b² - 4ac. Als deze determinant groter of gelijk aan nul is; heb je volgende twee wortels van die veelterm:
, je tweeterm (ax² + bx + c) = a(x - g)(x - h). In veel gevallen kan je die a weer binnen in één paar haakjes te brengen om daar een breuk weg te werken; maar eigenlijk is dat niet nodig (maar het geeft vaak wel mooiere vorm om te schrijven dan met breuken).

[boukekoppejan]

[QUOTE=Nilssiej;26755690]Kijk naar x^2-2x-63, en zoek twee getallen die bij vermenigvuldigen -63 opleveren en bij optellen -2. Ga een rijtje getallen af.

waarom is het vermenigvuldigen -63 en bij optellen -2?

dank

gr

[Nilssiej]

boukekoppejan schreef:

waarom is het vermenigvuldigen -63 en bij optellen -2?

dank

gr

Je hebt de ontbinding:



Om te begrijpen hoe ontbinden werkt, moet je eens proberen in deze formule de haakjes weg te werken. Je hebt neem ik aan wel geleerd hoe dat moet. Als je dat doet, krijg je:



Kijk nu eens, wat je nou eigenlijk hebt gedaan, toen je de haakjes hebt weggewerkt. Je hebt 7x-9x=-2x gedaan. En je hebt 7*-9=-63 gedaan. Dit is precies zoals het bij het ontbinden moet, je hebt 7-9 gedaan, dat is de "optelling/atrekking" die moet kloppen, en je hebt 7*-9 gedaan, dat is de "vermenigvuldiging" die moet kloppen!

Op deze manier kun je ook begrijpen, waarom je "opgeteld" -2 moet krijgen en "vermenigvuldigd" -63.

[boukekoppejan]

hey,

ok met die andere voorbeelden begrijp ik nu eindelijk

nu heb ik alleen deze nog 2b^2 - 12

hoe los je deze op dan?

gr

bouie

[mathfreak]

boukekoppejan schreef:

hey,

ok met die andere voorbeelden begrijp ik nu eindelijk

nu heb ik alleen deze nog 2b^2 - 12

hoe los je deze op dan?

gr

bouie

Merk op dat 2*b² en 12 ieder een factor 2 gemeenschappelijk hebben. Je kunt dus schrijven: 2*b²-12=2(b²-6).

[Nilssiej]

Nilssiej schreef:

Deze is juist erg gemakkelijk. x of x^2 kun je niet buiten haakjes halen, immers, 36 bevat niets van x. 4 kun je wel buiten haakjes halen. Maar, dan moet je 36 wel delen door 4. Je krijgt:

4(x^2+9)

2b^2-12 Moet je op precies dezelfde manier oplossen als deze. Dus weer kijken wat je buiten haakjes kunt halen.

[ILUsion]

boukekoppejan schreef:

hey,

ok met die andere voorbeelden begrijp ik nu eindelijk

nu heb ik alleen deze nog 2b^2 - 12

hoe los je deze op dan?

gr

bouie

Het maakt niet uit of er een b of een x staat; wel geldt er over het algemeen dat als er een x (of z of y) staat, dat dat de variabele is en dat andere letters parameters zijn (lees: iets minder belangrijke variabelen; ofwel: bij het begin van de opgave veronderstel je dat die parameters vast gekozen worden). Maar er staat hier enkel een b, dus mag je veronderstellen dat dat je variabele is.

Die opgave kan je dus ontbinden alsof b de variabele is (en niet x). Je kan deze dus verder oplossen via de discriminantsvergelijking.

[boukekoppejan]

hey,

op dit antwoord kwam ik ook uit 2b^2 - 12 = 2(b^2 -6)

maar als ik dan naar de antwoordblad kijk daar staat:

2(b-wortel6)(b+wortel6)

gr

bouke

[ILUsion]

Voor de tweede maal, dan maar.

ILUsion schreef:

Voor tweetermen bestaat er bovendien een methode die altijd werkt; maar die niet zo'n leuke berekeningen oplevert (hij verdient dus NIET de voorkeur, maar soms moet je hem nu eenmaal gebruiken omdat het niet anders kan). Als je een tweeterm ax² + bx + c hebt, kan je daarvan de discriminant berekenen D = b² - 4ac. Als deze determinant groter of gelijk aan nul is; heb je volgende twee wortels van die veelterm:
, je tweeterm (ax² + bx + c) = a(x - g)(x - h). In veel gevallen kan je die a weer binnen in één paar haakjes te brengen om daar een breuk weg te werken; maar eigenlijk is dat niet nodig (maar het geeft vaak wel mooiere vorm om te schrijven dan met breuken).

[Nilssiej]

boukekoppejan schreef:

hey,

op dit antwoord kwam ik ook uit 2b^2 - 12 = 2(b^2 -6)

maar als ik dan naar de antwoordblad kijk daar staat:

2(b-wortel6)(b+wortel6)

gr

bouke

Hier moet je dan volgens je antwoordenboek kennelijk gebruik maken van een merkwaardig product:

Ik weet niet precies hoe dat dan in je theorieboek beschreven staat. Maar je hebt dus:
2(b²-6) En je moet je dan concentreren op het gedeelte wat tussen de haakjes staat. Voor het gemak maak ik even in jouw formule van de b een c, omdat merkwaardige producten dan makkelijker te begrijpen zijn. Je hebt dus nu 2(c²-6) Stel dat a²=c² en b²=6, dan is a=c en b=√6 en dan kom je volgens

uit op:


Bij 4x²+36 kan dat niet, omdat je daar alleen maar positieve getallen hebt en dus niet gebruik kunt maken van de a²-b² regel.

Nilssiej schreef:

Bij 4x²+36 kan dat niet, omdat je daar alleen maar positieve getallen hebt en dus niet gebruik kunt maken van de a²-b² regel.

Kan wel, maar daar heb je complexe getallen voor nodig. Dat hoeft de TS waarschijnlijk niet te kennen, dus dan is het zo laten staan waarschijnlijk wel goed.