Deelbaarheid van getallen

[ReuSaH]

Hallo,
ik had een vraagje aan de wikundige... die of het weten of zin hebben om te puzellen en mij te helpen...
Ik ben de deelbaarheid van getallen aan eht onderzoeken...
voor 1 2 3 4 5 6 en 10 is dta makkelijk....
2: als het even is
3: alle getallen bij elkaar opgeteld deelbaar door drie
4: laatste twee getallen deelbaar door 4
5: eindigend op 5 of 0
6 alle getallen bij elkaar opgeteld deelbaar door drie en even getal
10: eindigend op 0

weet iemand de trucs hoe je kan zien dta een getal deelbaar is door
7:
8:
9:

bvd

latorr

[Tampert]

bewijzen hiervoor zijn eigenlijk nog veel leuker

[^AmArU^]

Tampert schreef:
bewijzen hiervoor zijn eigenlijk nog veel leuker

vet die wil ik ook wel eens zien

^AmArU^ schreef:


vet die wil ik ook wel eens zien

Volgens mij zijn die er niet...
Het is gewoon een 'toevallige' samenvoeging van ons talstelsel, de vermenigvuldiging en de eventuele optelling van de getallen.

Hmm, bewijzen ervoor vinden

OK, regel 3: alle getallen samen deelbaar door 3.

Stel:

3 -> 1
6 -> 2
9 -> 3
12 -> 4
15 -> 5
18 -> 6
21 -> 7
24 -> 8

Het begin te dagen 12 <-> 3 .. 15 <-> 6 .. 18 <-> 9 .. 21 <-> 3 .. 24 <-> 6 .. 27 <-> 9 .. 30 <-> 3 .. 33 <-> 6

Elk 3-tal zorgt voor een bestaande som. Daardoor kun je stellen dat als alle getallen opgeteld door 3 deelbaar zijn, het getal zelf ook door 3 deelbaar is

Wie heeft zin er nog meer te bewijzen?

[ReuSaH]

mm dank je...
bewijs voor 4 is snel geleverd toch??
een honderdtal is deelbaar door 4...
dus komt het aan op de laatste twee getallen...
mhzzz...
5... ja gewoon omdat het de helft is van 10

latorrr

ReuSaH schreef:
mm dank je...
bewijs voor 4 is snel geleverd toch??
een honderdtal is deelbaar door 4...
dus komt het aan op de laatste twee getallen...
mhzzz...
5... ja gewoon omdat het de helft is van 10

latorrr

Uuhmm... 256 is deelbaar door 4 (64)
Maar hoe zie je dat dan?
5 + 6 = 11
56 / 4 = 14... maar hoe weet je dat 56 deelbaar is door 4??

[cmoi]

voor 9 geldt:

als de som van cijfers van het getal een veelvoud van 9 is, dan is het getal deelbaar door 9

bv. 27 / 9 = 3 ... en 2 + 7 = 9

bv. 10134864 / 9 = 1126096 ... en 1 + 0 + 1 +3 + 4 + 8 + 6 + 4 = 27


bewijs weet ik, maar moet ik weer even verzinnen

[cmoi]

cmoi schreef:
voor 9 geldt:

als de som van cijfers van het getal een veelvoud van 9 is, dan is het getal deelbaar door 9

bv. 27 / 9 = 3 ... en 2 + 7 = 9

bv. 10134864 / 9 = 1126096 ... en 1 + 0 + 1 +3 + 4 + 8 + 6 + 4 = 27


bewijs weet ik, maar moet ik weer even verzinnen

het is in ieder gevallen te bewijzen met equivalentieklassen en modulorekenen

[mathfreak]

eddie schreef:

Uuhmm... 256 is deelbaar door 4 (64)
Maar hoe zie je dat dan?
5 + 6 = 11
56 / 4 = 14... maar hoe weet je dat 56 deelbaar is door 4??

Je kunt 56 ook schrijven als 7*8. Omdat 8 deelbaar is door 4 betekent dit dat 7*8, ofwel 56, ook deelbaar door 4 is.

[ReuSaH]

mmm mathfreak heeft gelijk... maarreh...
je ken van de laatste twee getallen toch wel zien of ze deelbaar zijn door 4...
dat hoef je volgens mij neit voor te rekenen dat zie je...
maarreeh... in die 9 zit wat in thanx... snap allen je manier van bewijzen niet echt cmoi...
8 is volgens mij ok niet zo moeilijkheeftvte maken met deelbaarheid door 4
dacht als de helft deelbaar is door vier komt alles goed...
dus mmm
vrij logisch natuurlijk maar van een beetje getal zie je natuurlijk niet zo snel de helft... weet iemand anders iets beter voor 8 of voor 7...
latorrr

256 is deelbaar door 4 omdat:

56 - (4 * 4) = 40
en 40 is deelbaar door 4!
haha!
sim-pel.

[edit]
Gheghe... en doe (40 / 4) + (16 / 4) en je hebt je factor...
10 + 4 = 14, dus 14 * 4 = 256
[/edit]

[Tampert]

voor 3 is wel een leuk bewijsje

neem een getal x.

nu zal dit getal ook kunnen worden geschreven als:

a*1 + b*10 + c*100 + d*1000 + d*10000 (...)
(1340 kun je schrijven als 0*1 + 4*10+3*100+1*1000+0*10000+0*100000+(...), denk aan de abacus )...


Als we van dit getal aftrekken:

b*9 + c*99 + d*999 + e*9999 +(...)


houden we a+b+c+d+e+(...) over.


dus nog ff mooi onder elkaar:

1*a + 10*b + 100*c + 1000*d + (...)
       9*b +   99*c  +  999*d +(...)
______________________________ -
     a    +   b   +    c    +    d +(...)

9*b + 99*c + 999*d +(...) is deelbaar door 3 (als je het deelt door 3 wordt het immers 3*b + 33*c + 333*d +(...)).

Stel nu dat a+b+c+d+(...) deelbaar is door 3.
er staat dan dus iets als:

iets - iets deelbaar door 3 = iets deelbaar door 3.

Om het wiskundig te houden schrijf ik het hier als:

x - y = z waarbij x en y deelbaar zijn door 3.

omdat y en z deelbaar zijn door drie kunnen we ze ook schrijven als p en q waarbij 3p = y en 3q = z. Onze som gaat dan over in:

x - 3p = 3q

Nu mag je links en rechts door 3 delen en dat geeft:

[b]x/3 - p = q. Omdat p en q gehele getallen zijn moet x/3 ook een geheel getal zijn! En als dat zo is geldt dus dat het deelbaar is door 3.

[ReuSaH]

gaat allemaal wel erg evr zeg/.. poe poe moet toch s op paier gaan kladden want zo op zon schermpjezegt het me weinig.. ge ge
latorr

[mathfreak]

eddie schreef:
256 is deelbaar door 4 omdat:

56 - (4 * 4) = 40
en 40 is deelbaar door 4!
haha!
sim-pel.

[edit]
Gheghe... en doe (40 / 4) + (16 / 4) en je hebt je factor...
10 + 4 = 14, dus 14 * 4 = 256
[/edit]

Even een correctie op je uitwerking: 256 is deelbaar door 4 omdat het getal dat door de laatste 2 rechtse cijfers wordt gevormd deelbaar is door 4.
Je zult echter met me eens zijn dat 256 geen 14*4 is, maar 64*4. Dit laatste is in te zien omdat geldt: 256=2^8=2^6*2^2=64*4

mathfreak schreef:

Even een correctie op je uitwerking: 256 is deelbaar door 4 omdat het getal dat door de laatste 2 rechtse cijfers wordt gevormd deelbaar is door 4.
Je zult echter met me eens zijn dat 256 geen 14*4 is, maar 64*4. Dit laatste is in te zien omdat geldt: 256=2^8=2^6*2^2=64*4

*heeft domme fout gemaakt*

*slaat hoofd hard tegen de muur aan*

*heeft hoofdpijn*

*gaat asprientje halen*

[Tampert]

cmoi schreef:


'k zou um voor 9 en voor 11 zou uit kunnen bewijzen, alleen niet als ik alleen ascii-tekens mag gebruiken

en ik geen scanner heb

hmm pleurt me ff op ICQ ofzo... of meel me ofzo dan zal ik het wel ff in mathematica rammen voor je

[cmoi]

cmoi schreef:
voor 9 geldt:

als de som van cijfers van het getal een veelvoud van 9 is, dan is het getal deelbaar door 9

bv. 27 / 9 = 3 ... en 2 + 7 = 9

bv. 10134864 / 9 = 1126096 ... en 1 + 0 + 1 +3 + 4 + 8 + 6 + 4 = 27


bewijs weet ik, maar moet ik weer even verzinnen

nah toch mar een poging hier:

als geldt 9 is een deler van 10134864,
dan geldt: 10134864 (mod 9) = 0 (mod 9)

(10^7 + 10^5 + 3*10^4 + 4*10^3 + 8*10^2 + 6*10^1 + 4*10^0) (mod 9) = 0 (mod 9)

(10^7)(mod 9) + (10^5)(mod 9) + (3*10^4)(mod 9) + (4*10^3)(mod 9) + (8*10^2)(mod 9) + (6*10)(mod 9) + 4 (mod 9) = 0 (mod 9)

[10 (mod 9)]^7 + [10 (mod 9)]^5 + 3 (mod 9) * [10 (mod 9)]^4 + 4 (mod 9) * [10 (mod 9)]^3 + 8 (mod 9) * [10 (mod 9)]^2 + 6 (mod 9) * [10 (mod 9)] + 4 (mod 9) = 0 (mod 9)

1^7 + 1^5 + 3 * 1^4 + 4 * 1^3 + 8 * 1^2 + 6 * 1 + 4 = 0 (mod 9)

1 + 1 + 3 + 4 + 8 + 6 + 4 = 0 (mod 9)

27 = 0 (mod 9)

true

---------------

dit verhaal kun je voor elk natuurlijk getal

als je het analyseert blijkt dus het truukje dat als de som van de cijfers een 9-voud is, het getal door 9 deelbaar is

'k hoop dat dit rommelige verhaal een beetje duidelijk is

je rekent hier dus met equivalentieklassen, door met modulo 9 te rekenen

voor 7 zijn er geen regels: helaas
voor 8 geldt: zijn de laatste 3 getallen deelbaar door 8
voor 9 geldt: som der cijfers delen door 9 (hetzelfde als bij 3 dus)

[mathfreak]

?? schreef:
voor 7 zijn er geen regels: helaas
voor 8 geldt: zijn de laatste 3 getallen deelbaar door 8
voor 9 geldt: som der cijfers delen door 9 (hetzelfde als bij 3 dus)

Voor de deelbaarheid door 7 is wel een regel. Ik heb hem zojuist gevonden in mijn CRC Consise Encyclopedia of Mathematics.
Wat je doet is het volgende:
laat
b=a*10^n+a(n-1)*10^(n-1)+...+a(2)*10^2+a(1)*10^1+a(0)*10^0
met a(0) t/m a getallen van 0 t/m 9 het getal zijn waarvan je de deelbaarheid door 7 wilt onderzoeken. We maken daarbij gebruik van het volgende:
10^1 geeft een rest 3 bij deling door 7
10^2 geeft een rest 2 bij deling door 7
10^3 geeft een rest -1 bij deling door 7
10^4 geeft een rest -3 bij deling door 7
10^5 geeft een rest -2 bij deling door 7
10^6 geeft een rest 1 bij deling door 7.
Dit rijtje van resten herhaalt zich bij de volgende serie opklimmende machten van 10.
Vorm nu het getal r=a(0)+3*a(1)+2*a(2)-1*a(3)-3*a(4)-2*a(5)+1*a(6)+3*a(7)+... Indien dit getal r deelbaar is door 7, dan is het oorspronkelijke getal b ook deelbaar door 7.

uu... hoe kun je een negative rest waarde hebben???

[mathfreak]

eddie schreef:
uu... hoe kun je een negative rest waarde hebben???

Om de rest van 10^3 bij ddeling door 7 te bepalen vermenigvuldig je de resten van 10 en 10^2 bij deling door 7 met elkaar. Dit geeft voor 10^3 een rest 6 bij deling door 7, maar als je daar 7 van aftrekt krijg je een rest -1. Persoonlijk zou ik zelf ook met positieve resten willen werken, maar waar het om gaat is dat de deelbaarheid van een getal door 7 inderdaad aantoonbaar is.

ok!

[Tampert]

hmm

bewijs voor 9 is bijna identiek aan het bewijs voor 3

omdat 999... deelbaar is door 9