integraal

[bulbanos]

x*sqrt(x+3) dx

[blablalou]

http://mss.math.vanderbilt.edu/cgi-b...derivative.def

[blablalou]

hallo mf,

mathfreak schreef op 29-08-2003 @ 19:58:
Ja, hallo, zo kan ik het ook...

@bulbanos: Pas de substitutie x+3=t toe, dan geldt:
x*sqrt(x+3)dx=(t-3)sqrt(t)dt=d(2/3*t*sqrt(t)(t-3))-2/3*t*sqrt(t)dt. Integratie hiervan geeft: 2/3*t*sqrt(t)(t-3)-2/3*2/5*t2*sqrt(t)=2/3*t*sqrt(t)(1-2/5*t)=2/3(x+3)sqrt(x+3)(1-2/5(x+3)).

De strekking in een kop in Natuur en Techniek van 9 sep 2003 blz 61...

Hoofdrekenen en logaritmetafels zij uit het onderwijs verdwenen met de komst van de zakrekenmachines. Ook differentieren, primitiveren en het oplossen van differentiaalvergelijkingen zullen verdwijnen. Scheidend wiskunde prof Jan Aarts is bepaald niet treurig dat de computer dit slavenwerk van ons overneemt.

...is hiermee op acceptatie getest!

[mathfreak]

blablalou schreef op 29-08-2003 @ 23:41:
hallo mf,

De strekking in een kop in Natuur en Techniek van 9 sep 2003 blz 61...

Hoofdrekenen en logaritmetafels zij uit het onderwijs verdwenen met de komst van de zakrekenmachines. Ook differentieren, primitiveren en het oplossen van differentiaalvergelijkingen zullen verdwijnen. Scheidend wiskunde prof Jan Aarts is bepaald niet treurig dat de computer dit slavenwerk van ons overneemt.

...is hiermee op acceptatie getest!

Het mag misschien zo zijn dat deze onderwerpen uit het middelbaar onderwijs zullen verdwijnen, maar het is maar zeer de vraag of dat niet ten koste gaat van het inzicht. Wat dat betreft neem ik dus een tegengesteld standpunt in ten opzichte van professor Aarts. Overigens maak ik thuis nog steeds gebruik van wiskundetafels en een rekenliniaal in plaats van mijn toevlucht tot de rekenmachine of een computeralgebrapakket te nemen.

[blablalou]

Hallo mf,

In de praktijk zal het zo'n vaart waarschijnlijk niet lopen, hoewel...
dit is natuurlijk koren op de molen van van der Hoeven.

In het stuk de opinie van Jan Aarts...
Studenten leren integralen uitrekenen, maar snappen vaak niet waar ze eigenlijk mee bezig zijn
... en dat is veel bedenkelijker!

Overigens is bij het gebruik van software alertheid(1) op zijn plaats:

De antideriver die ik aan het werk zette kwam met
(2/5)*(-6 + x + x^2) * sqrt(3+x)

Een concurrent...
http://integrals.wolfram.com/index.en.cgi
... kwam op de proppen met:
sqrt[(3/2)x^2 + (1/3)x^3]

Met dat al hebben we nu drie oplossingen... welke is de echte?

(1) met dank aan mf, sorry!

[GinnyPig]

blablalou schreef op 30-08-2003 @ 15:36:
Hallo mf,

In de praktijk zal het zo'n vaart waarschijnlijk niet lopen, hoewel...
dit is natuurlijk koren op de molen van van der Hoeven.

In het stuk de opinie van Jan Aarts...
Studenten leren integralen uitrekenen, maar snappen vaak niet waar ze eigenlijk mee bezig zijn
... en dat is veel bedenkelijker!

Overigens is bij het gebruik van software allertheid op zijn plaats:

De antideriver die ik aan het werk zette kwam met
(2/5)*(-6 + x + x^2) * sqrt(3+x)

Een concurrent...
http://integrals.wolfram.com/index.en.cgi
... kwam op de proppen met:
sqrt[(3/2)x^2 + (1/3)x^3]

Met dat al hebben we nu drie oplossingen... welke is de echte?

Die van Wolfram komt ook uit op (2/5)*(-6 + x + x^2) * sqrt(3+x) hoor

[mathfreak]

blablalou schreef op 30-08-2003 @ 15:36:
Hallo mf,

In de praktijk zal het zo'n vaart waarschijnlijk niet lopen, hoewel...
dit is natuurlijk koren op de molen van van der Hoeven.

Laten we hopen dat je inderdaad gelijk hebt. Onderwijsvernieuwing is prima, mits dit tot een verbetering van het onderwijs leidt.

blablalou schreef op 30-08-2003 @ 15:36:
In het stuk de opinie van Jan Aarts...
Studenten leren integralen uitrekenen, maar snappen vaak niet waar ze eigenlijk mee bezig zijn
... en dat is veel bedenkelijker!

In dat geval is het de taak van de docent om studenten het benodigde inzicht te verschaffen.

blablalou schreef op 30-08-2003 @ 15:36:
Overigens is bij het gebruik van software alertheid op zijn plaats:

De antideriver die ik aan het werk zette kwam met
(2/5)*(-6 + x + x^2) * sqrt(3+x)

Een concurrent...
http://integrals.wolfram.com/index.en.cgi
... kwam op de proppen met:
sqrt[(3/2)x^2 + (1/3)x^3]

Met dat al hebben we nu drie oplossingen... welke is de echte?

Heb je in beide gevallen overigens wel de uitkomst ter controle opnieuw gedifferentieerd om te kijken of je op de oorspronkelijke integrand uit kwam?

[Dvalin]

@Mathfreak heb je zelf je antwoord wel nagerekend ?

Mathfreak's antwoord klopt niet, evenals het antwoord van Wolfram (EDIT: klopt wel, dus kun je het beter zelf uitrekenen, ipv een foute beginwaarde in te rammen); onderstaande antwoord klopt volgens mij wel (heb het teruggerekend dmv differentieren).

[x * sqrt(x+3) * dx]

= (dmv partieel integreren)

2/3 * x * (x+3)^(3/2) - [2/3 * (x+3)^(3/2) * dx]

=

2/3 * x * (x+3)^(3/2) - 4/15 * (x+3)^(5/2)

=

(2/3 * x - 4/15 * (x+3)) * (x+3)^(3/2)

=

(2/5)*(x-2)*(x+3)*sqrt(x+3)

[GinnyPig]

mathfreak schreef op 29-08-2003 @ 19:58:
Ja, hallo, zo kan ik het ook...

@bulbanos: Pas de substitutie x+3=t toe, dan geldt:
x*sqrt(x+3)dx=(t-3)sqrt(t)dt=d(2/3*t*sqrt(t)(t-3))-2/3*t*sqrt(t)dt. Integratie hiervan geeft: 2/3*t*sqrt(t)(t-3)-2/3*2/5*t²*sqrt(t)=2/3*t*sqrt(t)(1-2/5*t)=2/3(x+3)sqrt(x+3)(1-2/5(x+3)).

Dit klopt overigens niet.
Nogmaals die substitutie:

x*(x+3)^1/2dx=
(t-3)t^1/2dt =
( t*t^1/2 - 3 t^1/2 )dt =
(t^3/2 - 3t^1/2)dt

Integratie levert dan:
2/5*t^5/2 - 2*t^3/2 =
2/5*t^1/2(t² - 5*t) =
2/5*(x+3)^1/2((x+3)² - 5*(x+3)) =
2/5*(x+3)^1/2(x² + 6x + 9 - 5x - 15) =
2/5*(x+3)^1/2(x² + x - 6 )

[edit]En Dvalin was iets sneller... :\ Overigens klopt Wolfram wel; bladieblabla ofzo had het blijkbaar verkeerd ingevoerd.

[mathfreak]

Dvalin schreef op 30-08-2003 @ 17:39:
@Mathfreak heb je zelf je antwoord wel nagerekend ?

Mathfreak's antwoord klopt niet.

Dat is inmiddels duidelijk, en nee, ik heb het helaas niet nagerekend, aangezien ik in mijn antwoord niet heb kunnen ontdekken waar de fout zat, vandaar dat ik de desbetreffende reply maar heb verwijderd. Bedankt voor je correctie, evenals GinnyPig overigens.