Poolvergelijking afleiden van een spiraal

[ProPHeT]

Een Archimedische spiraal is gegeven door:

x = 0.4t cos(3t)
y = 0.4t sin(3t)

op [0,4pi]

Geef een poolvergelijking van de spiraal.

Ik begrijp de methode die het boek uitlegt. Namelijk: De poolvergelijking heeft de vorm r = a * theta. Zoek uit wat de waarde van r en theta zijn bij een gegeven t. Nu kun je a berekenen, Hoe vind ik nu uit wat de exacte waarde is van r en theta bij een gegeven t?

[Point of View]

Bij poolcoördinaten geldt:

r = Sqrt(x²+y²)

tan(theta) = y / x

Ik zal even een leuk plaatje zoeken..


ziezo..

Je hebt twee vergelijkingen. Een voor de x-coördinaat en een voor de y-coördinaat.

Nu wil je het omschrijven in een poolvergelijking. Zoals je zelf al zei heeft de poolvergelijking de vorm r = a * theta. Als je nu in het plaatje kijkt, zie je dat r = Sqrt(x²+y²) (Pythagoras).

Als je nog eens in het plaatje kijkt, zie je dat tan(theta) = y / x. Dus theta = arctan(y / x).

Nu heb je de vergelijkingen voor r en theta. Vul nu een t in en er rolt een waarde voor a uit.

[ProPHeT]

Bedankt, dat is duidelijk. Waarom zetten ze nou niet zo'n plaatje in het boek?

Edit:

Toch loop ik weer vast. Het uitrekenen van r(t) gaat goed, maar theta levert problemen op.

tan theta = (0.4t sin(3t))/(0.4t cos(3t))
tan theta = sin(3t)/cos(3t)
theta = arctan (sin(3t)/cos(3t))
theta = arctan (tan(3t))

Als ik nou bijvoorbeeld pi of 2pi invul krijg ik een hoek van 0. Dit klopt volgens mij niet.

[mathfreak]

ProPHeT schreef op 01-03-2004 @ 17:43:
Bedankt, dat is duidelijk. Waarom zetten ze nou niet zo'n plaatje in het boek?

Blijkbaar gaan ze er in het boek van uit dat je al weet hoe je gewone en poolcoördinaten in elkaar om moet zetten.

ProPHeT schreef op 01-03-2004 @ 17:43:
Edit:

Toch loop ik weer vast. Het uitrekenen van r(t) gaat goed, maar theta levert problemen op.

tan theta = (0.4t sin(3t))/(0.4t cos(3t))
tan theta = sin(3t)/cos(3t)
theta = arctan (sin(3t)/cos(3t))
theta = arctan (tan(3t))

Als ik nou bijvoorbeeld pi of 2pi invul krijg ik een hoek van 0. Dit klopt volgens mij niet.

Kijk eens naar de regel tan(thèta)=sin(3*t)/cos(3*t) en werk
sin(3*t)/cos(3*t) uit tot sin(3*t)/cos(3*t)=tan(3*t). Dit geeft:
tan(thèta)=tan(3*t), dus thèta=3*t. De waarde voor r vind je uit
r=sqrt(x²+y²)
=sqrt(0,16*t²*sin²(3*t)+0,16*t²*cos²(3*t))
=sqrt(0,16*t²)=0,4*t. Ik neem aan dat het vinden van de waarde a uit r=a*thèta nu verder geen probleem meer voor je is.

[ProPHeT]

Hartelijk bedankt!