bewijsje driehoek

[saxy girl]

hallo,

ik heb een vraagje over een schijnbare gemakkelijke stelling.

Neem een willekeurige driehoek. Teken een zwaartelijn. Neem het midden van deze zwaartelijn. Verbind dit midden met een overstaand hoekpunt en laat deze rechte de andere overstaande zijde snijden. Deze zijde zal dan in een verhouding van 1/3 en 2/3 worden gesneden. Bewijs ???
De stelling is makkelijk te aanvaarden, maar het bewijzen is niet zo evident. Weet iemand raad?
Bedankt

[Maandag]

saxy girl schreef op 11-03-2004 @ 22:27:
hallo,

ik heb een vraagje over een schijnbare gemakkelijke stelling.

Neem een willekeurige driehoek. Teken een zwaartelijn. Neem het midden van deze zwaartelijn. Verbind dit midden met een overstaand hoekpunt en laat deze rechte de andere overstaande zijde snijden. Deze zijde zal dan in een verhouding van 1/3 en 2/3 worden gesneden. Bewijs ???
De stelling is makkelijk te aanvaarden, maar het bewijzen is niet zo evident. Weet iemand raad?
Bedankt

het bewijs heeft zeker te maken met vectoren.
je moet bepaalde zijden uitdrukken in andere zijden..ect..
binnenkort krijg je het bewijs..

[saxy girl]

mathfreak schreef op 12-03-2004 @ 18:53:
Laat AB de basis zijn en laat D het snijpunt zijn van de zwaartelijn uit A met BC. Trek nu vanuit D de middenparallel DE, waarbij E in het midden van AC ligt. Je hebt nu 2 zwaartelijnen AD en BE die elkaar snijden in Z. Nu geldt: driehoek AZB is gelijkvormig met driehoek BZE, dus AZ/ZD=BZ/ZE=AB/DE=2:1. De zwaartelijn uit C gaat evenals de zwaartelijnen uit A en B door Z, dus de 3 zwaartelijnen zijn concurrent zoals dat heet, en ook de zwaartelijn uit C zal door Z in 2 stukken worden verdeeld, zeg CZ en ZF, die zich eveneens verhouden als 2:1.

euhm, als ik me niet vergis, mathfreak , heb je nu bewezen dat de zwaartelijnen zich zo verhouden, maar niet de stelling

[mathfreak]

saxy girl schreef op 13-03-2004 @ 17:27:
euhm, als ik me niet vergis, mathfreak , heb je nu bewezen dat de zwaartelijnen zich zo verhouden, maar niet de stelling

Dat klopt. Ik heb mijn vorige reply inmiddels verwijderd. Misschien kun je voor het bewijs gebruik maken van de stelling van de Ceva. Deze stelling luidt als volgt: laat P een punt zijn op BC, Q een punt op AC en R een punt op AB, en laat AP, BQ en CR elkaar snijden in S, dan geldt: BP*CQ*AR=CP*AQ*BR. Voor de 3 concurrerende rechten kun je in dat geval dus het beste de 3 zwaartelijnen nemen.

[Maandag]

het bewijs:
stel ABC een driehoek.
A' het midden van BC en M het midden van AA'.
de lijn BM snijdt AC in B'.

teken de evenwijdige lijn aan BB'en die door A' gaat: deze lijn snijdt AC in N.
gevraagd: AB':B'C=1:2
volgens de stelling van Thales geldt.
(1) CN/ CB'= CA'/CB =A'N/B'B=1/2 'want A' is het midden van [BC]'.
ook geldt er
(2) AM/AA'=AB'/AN=B'M/NA'=1/2 want M is het midden van [AA']
uit (1) en (2) volgt:
CN=CB'/2 en AB'=AN/2
CN=CN/2 +NB'/2 en AB'=AB'/2+ B'N/2
gevolg: CN/2=NB'/2 en AB'/2=B'N/2
dus CN=NB'=AB' en zo is AB':B'C=1:2

[mathfreak]

Maandag schreef op 13-03-2004 @ 20:16:
volgens de stelling van Thales geldt.
(1) CN/ CB'= CA'/CB =A'N/B'B=1/2 'want A' is het midden van [BC]'.

Volgens mij ben je in de war met een andere stelling. De stelling van Thales zegt namelijk, als P een punt op een cirkel met middellijn AB is, dat hoek APB dan recht is.

[Maandag]

mathfreak schreef op 13-03-2004 @ 22:42:
Volgens mij ben je in de war met een andere stelling. De stelling van Thales zegt namelijk, als P een punt op een cirkel met middellijn AB is, dat hoek APB dan recht is.

...nee.
de andere stelling van thales: http://perso.wanadoo.fr/stefbase/mat...rie/Thales.htm
in nederland spreek je meestal van verhoudingen van driehoeken..ect..ect.

[mathfreak]

Maandag schreef op 14-03-2004 @ 12:33:
...nee.
de andere stelling van thales: http://perso.wanadoo.fr/stefbase/mat...rie/Thales.htm
in nederland spreek je meestal van verhoudingen van driehoeken..ect..ect.

Het is volgens Morris Klines Mathematical Thought from Ancient to Modern Times maar zeer de vraag in hoeverre dit terecht is. Kline wijst er in zijn werk op dat aan Thales inderdaad het gebruik van gelijkvormige driehoeken wordt toegeschreven om zo de afstand van een schip tot een haven te bepalen, maar dat dit dubieus is. Overigens ben ik in geen van mijn overige naslagwerken over de (geschiedenis van de) wiskunde een beschrijving van de "andere" stelling van Thales tegen gekomen, dus het is wat dat betreft, als je het werk van Kline in aanmerking neemt, maar zeer de vraag of het inderdaad terecht is om in dit verband van een andere stelling van Thales te spreken.

[Maandag]

ik noemde die stelling de stelling van thales omdat ik vroeger geen andere stelling van hem kende.
ik vond het eerst ook raar dat hij een stelling heeft over cirkels ect.
maar ik zocht niet verder in de geschiedenis van wiskunde......