exponentiële functievoorschrift

[Trisia]

OWkee even een vraagje waar ik echt niet uitkom, terwijl die volgens mij helemaal niet zo moeilijk moet zijn, komtie:
en grafiek van een groeifunctie gaat door de punten ( 1,5 ) en ( 5,25 ) nu moet er een bijpassende functievoorschrift worden bepaald als het gaat om linieaire groei en als het gaat om exponentiële groei.
Het functievoorschrift als het gaat om lineaire groei is: t=5t, die is niet zo moeilijk, het gaat dus om het exponentiële
functievoorschrift, weet iemand hoe je dit moet bereken? De formule is in ieder geval: t=ba^t

ja even vergeten er iets bij te zetten: in die formule is b, de beginhoeveelheid, maar die weet je dus niet, en a, de groeifactor

[Dit bericht is aangepast door Trisia (18-01-2002).]

[DrPain]

5=1+ba^1 en 25=5+ba^5
4=ba^1 en 20=ba^5

Nou a*b=4 en 20= b*a *a^4
dus
20=4*a^4

en de rest doe je zelf maar

(klopt dit?? Is lang geleden voor mij, maar lijkt logisch )

[pol]

Ik veronderstel dat de formule goed is.

Pas gewoon de formule toe. Je moet a en b bepalen. We weten dat de functie door de punten (1,5) en (5,25) gaat. Dus we vervangen t door 1 respectievelijk 5, met als functiewaarde 5, respectievelijk 25.

We moeten dus volgend stelsel oplossen naar a en b.

1+b*a^1 = 5
5+b*a^5 = 25

Uit de eerste vergelijking haal je : b = 4/a

Substitueren we dan b in de tweede vergelijking, dan krijgen we :

5+4/a * a^5 = 25
<=> a^4 = 5
<=> a = 5^(1/4) of a= -5^(1/4) (We hebben enkel de reële oplossingen nodig).

Vullen we nu a en b in in de formule, dan krijgen we (beide waarden van a geven aanleiding tot dezelfde functie) :

t+4/5^(1/4) * 5^(t/4)

Na vereenvoudiging :

t+4*5^((t-1)/4)

Als test kun je t weer vervangen door 1 resp. 5, en je zult zien dat je als functiewaarde 5 resp. 25 krijgt.
Dus het klopt.

[pol]

Oeps.

Verkeerde formule gebruikt. De oplossingsmethode is goed, maar ja, als ik de verkeerde formule gebruik.

De oplossing is : f(t) = 5^((t+3)/4)

[Trisia]

Ja maar die klopt nie volgens mij, want er moet dus, als je voor t 1 invult, moet er 5 uitkomen, en als je voor t 5 invult zou er 25 uit moeten komen..

[pol]

f(1) = 5^((1+3)/4) = 5^1 = 5

f(5) = 5^((5+3)/4) = 5^(8/4) = 5^2 = 25

[Trisia]

ja maar bijvoorbeeld 5^((1+3)/4
je kunt toch niet de macht uitschrijven tegen een grondgetal?

en die formule heb ik dus fout opgeschreven...

[Dit bericht is aangepast door Trisia (18-01-2002).]

[mathfreak]

Om van de exponentiële groeifunctie y=b*a^t de waarden voor a en b te vinden ga je als volgt te werk: omdat de punten ( 1,5 )
en ( 5,25 ) op de grafiek liggen moet gelden: 5=b*a^1 en 25=b*a^5, ofwel b*a=5 en b*a^5=25. We kunnen b*a^5 schrijven als b*a*a^4, wat gelijk is aan 5*a^4, dus er geldt: b*a^5=5*a^4=25, dus a^4=5. Dit geeft: a=5^1/4. Omdat geldt: b*a=5 vinden we: b=5^3/4. De gevraagde groeifunctie wordt nu: y=(5^3/4)*5^t/4.

[Dit bericht is aangepast door mathfreak (18-01-2002).]

[pol]

mathfreak schreef:
y=(5^3/4)*5^t/4.

[Dit bericht is aangepast door mathfreak (18-01-2002).]

Dit is toch identiek aan : y = 5^((t+3)/4)

[mathfreak]

pol schreef: "Dit is toch identiek aan : y = 5^((t+3)/4)?" Dat klopt. Je rekenmethode was niet erg duidelijk, maar het uiteindelijke resultaat klopt wel. Ik heb mijn antwoord echter in de vorm y=b*a^t laten staan om zo het onderscheid tussen a en b beter duidelijk te maken.

[Trisia]

mensen heeeeel erg bedankt voor het helpen!!!