leuk rekensommetje

[gert-jaap]

he luitjes

ik heb een leuke stelling

vraag: stel je voor: een schildpad en een slak doen een wedstrijdje hardlopen. de slak krijgt 200 meter voorsprong. de schildpad is 2 keer zo snel als de slak. wanneer haalt de schildpad hem in?

antwoord: nooit!

uitleg: na een uur heeft de slak 50 meter gelopen dus de schildpad 100.
de afstand tussen de 2 is nog maar 150 meter. afstand is dus verkleind dus. mee eens? deze afstand zal blijven verkleinen. maar je kan een getal toch tot in het oneindige blijven verkleinen? dan zal de afstand toch nooit 0 worden? dus de schildpad zal hem nooit inhalen!

ik weet wel dat het niet klopt maar dat is toch raar?

[Doc]

Je verhaal is incompleet, maar ervan uitgaande dat de slak 50 meter per uur loopt en een voorsprong van 200 meter heeft op het schildpad...en aannemende dat het schildpad met een factor 2 zich uit de voeten (poten ) maakt kun je de volgende formule opstellen

Slak(x) = 50x+200
Schildpad(x) = 100x
x is het aantal uur

Als je nu naar deze formules kijk zie je dat ze elkaar een keer gaan snijden...

En dat is volgens mij tussen 6 en 7 uur...

[cmoi]

gert-jaap schreef:
he luitjes

ik heb een leuke stelling

vraag: stel je voor: een schildpad en een slak doen een wedstrijdje hardlopen. de slak krijgt 200 meter voorsprong. de schildpad is 2 keer zo snel als de slak. wanneer haalt de schildpad hem in?

antwoord: nooit!

uitleg: na een uur heeft de slak 50 meter gelopen dus de schildpad 100.
de afstand tussen de 2 is nog maar 150 meter. afstand is dus verkleind dus. mee eens? deze afstand zal blijven verkleinen. maar je kan een getal toch tot in het oneindige blijven verkleinen? dan zal de afstand toch nooit 0 worden? dus de schildpad zal hem nooit inhalen!

ik weet wel dat het niet klopt maar dat is toch raar?

volgens jouw uitleg is afstandverschil een exponentiele afnamen, in het sommetje is er gewoon een lineaire afname, dus klopt er niets van je uitleg

[gert-jaap]

maar de afstand zal blijven afnemen, mee eens toch?

[pol]

Na 1 uur : slak 50 m , schildpad 100
...
Na 4 uur : slak 200m , schildpad 400

Wat probeer je hier eigenlijk te bewijzen???

[pol]

Hier is zo'n rekensommetje.

Aan weers zijden van een voetbalveld van 100 meter staan Jantje en Anneke tegenover elkaar. Ze mogen elk 25 m naar elkaar toe lopen, en elke minuut mogen ze de helft van de vorige afstand dichter komen.

Na hoe lang zijn ze bij elkaar?

[gert-jaap]

ligt eraan hoe groot de eerste stap is.
maar ik probeer nix te bewijzen ofzow hoor, het was zomaar ff een gedachte. vond het wel leuk klinken.

[mathfreak]

Jouw redenering is een variant op een van de paradoxen van de Griekse filosoof Zeno van Elea. Het betreft de paradox van Axhilles en de schildpad. In dit geval heeft de schildpad een voorsprong als ze hun wedstrijd beginnen. Zeno redeneerde op dezelfde manier als jij. Waar het om gaat is dat een oneindige som van afstanden toch een eindige waarde kan hebben.
Laten we jouw voorbeeld eens wat nader bekijken. Stel dat de slak een constante snelheid v heeft, dan heeft de schildpad een constante snelheid 2v. Noem s1(t) de afgelegde weg van de slak op tijdstip t en noem s2(t) de afgelegde weg van de schildpad op tijdstip t, dan geldt:
s1(t)=200+v*t en s2(t)=2*v*t. Om te bepalen waar de slak de schildpad inhaalt lossen we op: s1(t)=s2(t) ofwel 200+v*t=2*v*t.
Breng de term 2*v*t naar links en de term 200 naar rechts. Dit levert:
-v*t=-200 ofwel v*t=200. Vullen we dit in in s1(t) en s2(t), dan zien we dat de slak na 400 meter door de schildpad wordt ingehaald. Merk op dat de waarde van de snelheid daarbij blijkbaar niet van belang is.



[Dit bericht is aangepast door mathfreak (31-01-2002).]

[Queen Klazina Wok]

mathfreak schreef:
hele hoop

ja ik wou net zeggen, dat is de paradox van achilles en de schildpad

[Tampert]

Jouw paradox gaat uit van het bekijken naar een steeds kleiner tijdsintervalletje. Zoals jij er tegenaankijkt zal de tijd ook nooit verder gaan dan het moment waarop ze elkaar inhalen.

Dit is ook zo met het verhaal van de pijl (vergelijkbaar met het verhaal van het voetbalstadion hierboven). Men schiet een pijl., Deze legt de helft van de afstand af, legt daarna de helft van de resterende afstand af en doet dit weer en weer en zal nooit aankomen.


Dit gaat ook uit van een steeds kleiner tijdje. De pijl legt eerst de helft van de afstand af in de helft van de tijd, dan legt hij de helft van de overblijvende afstand in de helft van de overblijvende tijd af, etc. Omdat de tijdsverschilletjes steeds kleiner worden, worden ook de afstandjes steeds kleiner. Dit gaat naderhand naar een beweging van 0 m in 0 s. De afgelegde afstand zal echter uiteindelijk, bij een oneindig aantal helftjes, toch weldegelijk de plaats van bestemming zijn.

[GinnyPig]

Tampert schreef:
Jouw paradox gaat uit van het bekijken naar een steeds kleiner tijdsintervalletje. Zoals jij er tegenaankijkt zal de tijd ook nooit verder gaan dan het moment waarop ze elkaar inhalen.

Dit is ook zo met het verhaal van de pijl (vergelijkbaar met het verhaal van het voetbalstadion hierboven). Men schiet een pijl., Deze legt de helft van de afstand af, legt daarna de helft van de resterende afstand af en doet dit weer en weer en zal nooit aankomen.


Dit gaat ook uit van een steeds kleiner tijdje. De pijl legt eerst de helft van de afstand af in de helft van de tijd, dan legt hij de helft van de overblijvende afstand in de helft van de overblijvende tijd af, etc. Omdat de tijdsverschilletjes steeds kleiner worden, worden ook de afstandjes steeds kleiner. Dit gaat naderhand naar een beweging van 0 m in 0 s. De afgelegde afstand zal echter uiteindelijk, bij een oneindig aantal helftjes, toch weldegelijk de plaats van bestemming zijn.

Erm... verhaal van de pijl ging toch iets anders als ik het mij kan herrineren

Het was iets in de trend van:
Je schiet de pijl af, en als je de pijl bekijkt op het moment dat je hem afschiet beweegt ie niet.
Bekijk je de pijl een paar seconden later, dan is deze op een andere plaats, maar beweegt de pijl niet (doordat je alleen dat moment bekijkt).

Bekijk je heel veel momenten achter elkaar, dan zal alleen de plaats van de pijl anders zijn. Maar de pijl beweegt op geen van de momenten. Daaruit kan je concluderen dat de pijl op geen 1 van de momenten beweegt, en dus eigenlijk helemaal geen snelheid heeft. Paradox: hoe komt de pijl dan toch op zijn bestemming aan?

[Dit bericht is aangepast door GinnyPig (01-02-2002).]

[FF5-rlz]

Over deze som (van Zeno geloof ik) zijn al zoveel discussies gevoerd en je kan er ook niet uit komen om dat het inhaalpunt een oneindig aantal cijfers achter de komma heeft.

[stepvantantebep]

FF5-rlz schreef:
Over deze som (van Zeno geloof ik) zijn al zoveel discussies gevoerd en je kan er ook niet uit komen om dat het inhaalpunt een oneindig aantal cijfers achter de komma heeft.

nee hoor, het convergeert naar dat punt, en met limietberekeningen kun je het exact uitrekenen.