[WI] Keerpunten berkenen

[Femic]

Kan iemand me helpen met de volgende som?

Gegeven is de parametervoorstelling:
x=8cos4t
y=5sin3t
met domein [0,2pi]

Geef de coordinaten van de keerpunten en de bereken de bijbehorende waarden van t.


Ik weet uberhaupt niet hoe je keerpunten moet berekenen..

Alvast bedankt!

[sdekivit]

in de keerpunten is de snelheid van de beweging nul en gaat deze in tegengestelde beweging verder. De beweging keer dus om.

v(t) = sqrt { [x'(t)]^2 + [y'(t)]^2 }

x'(t) = -32 sin(4t) en y'(t) = 15 cos(3t)

x' en y' moeten 0 zijn

-32 sin(4t) = 0 dus 4t = k * pi dus dus t = k * 1/4 pi

15 cos(3t) = 0 dus 3t = 1/2 pi + k * 2pi en 3t = -1/2 pi + k*2pi

t = 1/6 pi + k * 4/6 pi en t = -1/6 pi + k * 4/6 pi

voor x' geldt dat deze op t = 1/4,1/2,3/4,1,5/4,6/4,7/4,2 pi 0 is en voor y' op t = 1/6,3/6,5/6,7/6,9/6,11/6 pi 0 is

dus op t = 0,5 pi en t = 1,5 pi is de snelheid 0.

nog even controleren of de weg omkeert en dan zul je zien dat dit idd 2 t-waarden zijn van de keerpunten zijn

[Keith]

Je hebt keerputen wanneer y'(t)=x'(t)=0

x=8cos4t
y=5sin3t

dus:
dx/dt = -32sin4t = 0
sin 4t = 0
4t = 0 + k(pi)
t = k(pi)/4
[0,2(pi)]
0, (pi)/4, (pi)/2, 3(pi)/4, (pi), 5(pi)/4, 3(pi)/2, 7(pi)/4, 2(pi),


dy/dt = 15cos3t = 0
cos 3t = 0
3t = (pi)/2 + k(pi)
t = (pi)/6 + k(pi)/3
[0,2(pi)]
(pi)/6, (pi)/2, 5(pi)/6, 7(pi)/6, 3(pi)/2, 11(pi)/6

duskeerpunten bij t=(pi)/2 en t=3(pi)/2

coordinaten:
t=(pi)/2
x=8cos4t=8
y=5sin3t=-5

t=3(pi)/2
x=8cos4t=8
y=5sin3t=5

komt dit overeen met wat je op je GR ziet?

[Keith]

inderdaad, was er niet helemaal bij, ((pi)/2)/3 = 2(pi)/3 klopt niet echt he


maar ik heb het al verbeterd

[Femic]

ok, super, bedankt!

[sdekivit]

moet je ook nog even kijken of de weg op deze punten tegelijkertijd omkeert.

op t = 0,5 pi em 1,5 pi hebben beide functies een extreme waarde waarbij de weg omkeert.

--> conclusie: een keerpunt