limiet?

[bulbanos]

lim x->0 van (3^x-1)/x

[GinnyPig]

Die '- 1' kan je bij limieten laten wegvallen, dus dan blijft 3^x/x over. Sinds een exponentiele functie sneller stijgt dan de lineaire functie 'x', kan je zeggen dat de functie 3^x het 'wint' van de functie x. Dus de limiet is oneindig.

[bulbanos]

GinnyPig schreef:
Die '- 1' kan je bij limieten laten wegvallen, dus dan blijft 3^x/x over. Sinds een exponentiele functie sneller stijgt dan de lineaire functie 'x', kan je zeggen dat de functie 3^x het 'wint' van de functie x. Dus de limiet is oneindig.

ja, maar niet in 0

[GinnyPig]

bulbanos schreef:
ja, maar niet in 0

oh lol, sorry.. vraag verkeerd gelezen

delen door 0 kan niet

[mathfreak]

bulbanos schreef:
lim x->0 van (3^x-1)/x

Pas de stelling van De l'Hospital toe. Dit geeft:lim x->0(f(x)/g(x))
=lim x->0(f'(x)/g'(x)). Omdat geldt: f(x)=3^x -1 en g(x)=x krijgen we:
f'(x)=3^x*ln(3) en g(x)=1, dus krijgen we:
lim x->0((3^x -1)/x)=lim x->0((3^x*ln(3))=1*ln(3)=ln(3)

[cmoi]

Is het zonder gebruik van die stelling ook op te lossen eigenlijk?

[mathfreak]

cmoi schreef:
Is het zonder gebruik van die stelling ook op te lossen eigenlijk?

Bij nader inzien kan dit inderdaad. Beschouw daarvoor maar eens de definitie van het begrip afgeleide. Als f een gegeven functie is, dan kunnen we f'(a) bepalen door de waarde van x in het differentiequotiënt
(f(x)-f(a))/(x-a) naar a te laten gaan. Kies nu voor f het voorschrift
f: x->3^x en bedenk daarbij dat f' is gegeven door het voorschrift
f': x->3^x*ln(3). Door voor a de waarde 0 te kiezen krijgen we het differentiequotiënt (3^x -1)/x, en door nu x tot 0 te laten naderen krijgen we de waarde f'(0)=3^0*ln(3)=1*ln(3)=ln(3), waarmee de gevraagde limiet is berekend.