[WI] Irrationele getallen(?) Raaklijn met f(x)=e^x

[Fingon]

f(x)=e^x
de raaklijn uit punt B(1,0) raakt f in punt C
Geef de coordinaten van C
Ik weet wel wat ik moet doen maar niet hoe, ik moet de raaklijn terugvinden aan de hand van B(1,0)
maar hoe, ik bne het kwijt.

Je raaklijn heeft voorstelling r(x) = ax + b.

Voor deze raaklijn geldt in punt x=C dat r(C)=f(C) en r'(C)=f'(C). (edit: ik bedoel hier dus de x-coordinaat van C)
Er geldt ook dat r(1) = 0.

Dit geeft je 3 vergelijkingen voor 3 onbekenden (a, b en C).

[Fingon]

Wil je alsjeblieft uitwerking geven want ik heb het beetje nodig voor SE morgen, ondertussen probeer ik hem zelf nog even

Je weet dat r(1) = 0, dus a + b = 0, dus a = -b.

Je weet ook dat r'(Cx) = a = f'(Cx).

Meer hints ga ik niet geven.

[Fingon]

f'(Cx)=f'(1)
dus a=e
r(1)=e*1+b=0
b=-e (=-a)
r(x)=ex-e
maar die lijn raakt f(x)=e^x voor geen meter :/
volgens mij zit ik dus bij eerste fout, maar geen idee wat dan te doen.
Ik zal er verder op mediteren.

Fingon schreef:

f'(Cx)=f'(1)

Hier stel je bij voorbaat dat Cx = 1, dat lijkt me niet echt onderbouwd.

[Fingon]

tja, ik zie het gewoon niet.
Wel jammer, net SE gehad en precies dit zat erin :/ Gelukkig wist ik de rest helemaal, maar toch...(verkapte beschuldiging )

[mathfreak]

Fingon schreef:

f(x)=e^x
de raaklijn uit punt B(1,0) raakt f in punt C
Geef de coördinaten van C
Ik weet wel wat ik moet doen maar niet hoe, ik moet de raaklijn terugvinden aan de hand van B(1,0)
maar hoe, ik ben het kwijt.

Stel eerst de vergelijking van de raaklijn door B op. Deze raaklijn heeft de vergelijking y=a*x+b. Omdat deze raaklijn door B gaat vinden we: 0=a+b, dus b=-a, dus de raaklijn heeft de vergelijking y=a*x-a. Omdat dit een raaklijn is moet gelden: f'(x)=a, dus e^x=a, dus x=ln(a). De raaklijn gaat dus door de punten B(1,0) en (ln(a),a), dus a=a*ln(a)-a, dus 2*a-a*ln(a)=0, dus a(2-ln(a))=0, dus a=0 of ln(a)=2. Omdat ln(a) alleen gedefinieerd is voor a>0 kan dus alleen gelden: ln(a)=2, dus a=e². De raaklijn heeft dus de vergelijking y=e²*x-e². Deze raaklijn raakt de grafiek van f in C. Er moet nu gelden: e²*x-e²=e^x en e²=e^x, dus x=2. Het gezochte punt C is dus het punt (2,e²).

[Fingon]

Bedankt, en verder best wel lullig, de natuurlijke logaritme zat helemaal niet in dat hoofdstuk en hebben we nog niet gehad, dat is lekker dan :/