[WI] Toepassing van de afgeleide

[nienie]

Een rechthoekig zwembad is 8 meter lang en 20 meter breed. De bodem is een helling, op het diepste punt is het zwembad 3 meter diep, op het ondiepste punt 1 meter. Het water wordt uit het zwembad gepompt met een snelheid van 1 m^3 per minuut. Hoe snel daalt de diepte van het water wanneer de diepte van het water 1 meter is?

Ik zit al de hele tijd te tekenen en te proberen, en ik heb telkens het idee dat ik de oplossing wel zie, maar het niet onder woorden (in formules) kan brengen. Heeft iemand een idee?

Het water wordt uit het zwembad gepompt met een snelheid van 1 m^3 per minuut.

[saganou]

hmm interessante opgave.. Maar de helling van de bodem waar je het over had, is dat gewoon een rechte lijn of iets anders? Nou, als we gewoon generaliseren en zeggen dat die helling volgens de functie f(x) loopt, en dat de helling over de lange kant gaat (dus dat het zwembad als je de brede kant langsloopt steeds dieper is), dan kunnen we het berekenen..

Laat V(t) het volledige volume van het water zijn, op het tijdstip t met t in minuten, en laat h(t) de hoogte (of diepte) van het zwembad zijn, vanaf het laagse punt van het zwembad gemeten (zou het zwembad helemaal vol zijn dan is h=3). f(x) is de hoogte van de bodem, gemeten vanaf het laagste punt, als je x meter langs de breedte van het zwembad bent gelopen (ik kan hier geen mooie plaatjes tekenen het spijt me).

V(t) kunnen we dan uitdrukken in h(t):

V(t) = 8 * integral(h(t)-f(x),x,0,20)
= 160*h(t) - integral(f(x),x,0,20)
Want de integral-term berekent de oppervlakte tussen de functies y(x):=h(t) (een rechte lijn dus) en y(x):=f(x). Deze oppervlakte is de oppervlakte van het water als je in een doorsnede zou bekijken. Vermenigvuldig je dit met de lengte van het zwembad, dan heb je dus het totale volume

Nu is gegeven dat uit het zwembad water wordt gepompt met een snelheid van 3 kubieke meter per minuut, dus:
dV/dt = -3. We willen weten hoe snel de diepte daalt per minuut, en dit is gelijk aan dh/dt. Door nu van V de afgeleide te nemen (ten opzichte van t) en dit gelijk te stellen aan -3, kunnen we dh/dt afleiden.

V(t) = 160*h(t) - integral(f(x),x,0,20)
V'(t) = 160*h'(t) - 0 <<< want in die laatste integral term zit alleen een x en geen t, is dus ten opzichte van t een constante, en daarvan is de afgeleide tov van t 0.

dus:
h'(t) = V'(t)/160
h'(t) = -3/160 m/minuut > de hoogte daalt dus met ongeveer 1,88 centimeter per minuut


Je ziet overigens dat het voor deze vraag dus niet uitmaakt wat f(x) is..

Ik hoop dat mijn berekeningen kloppen (argh..rekenfoutjes zijn geniepig), en dat het niet te ingewikkeld is (met alle integralen etc.) Als je wilt dat ik het verder uitleg moet je het maar zeggen

[saganou]

Ik zie een fout...het was al een beetje raar dat f(x) er niet toe deed..nou, Als h tussen 3 en 2 ligt dan gaat de formule nog wel op, maar daarna niet meer. Immers het oppervlak van de dwarsdoorsnede van het water waar ik het over had, is niet meer dezelfde integraal. Wanneer het water daalt onder het hoogste punt van de bodem, dan moet de bovenwaarde van de integraal veranderd worden. En wel zo:

V(t) = 8 * integral(h(t)-f(x),x,0,a)

Waar voor a geldt dat f(a)=h(t) (dit is het snijpunt van het wateroppervlak met de oorspronkelijke bodem). Dus als g(x) de inverse is van f(x), dus g(f(x))=x, dan is a gelijk aan g(h(t))

V(t) = 8 * integral(h(t)-f(x),x,0,g(h(t)))
= 8*g(h(t))*h(t) - integral(f(x),x,0,g(h(t)))

Als voorbeeld nemen we even dat de bodem als een rechte lijn afloopt. Dan is f(x)=1/10x (want f(0)=0 en f(20)=2)

dan is g(x) = 10*x, en de primitieve van f(x) is '1/20x^2'

V(t) = 8*(10*h(t))h(t) - (1/20*(10h(t))^2-1/20*0)
= 79.5h(t)^2

dV/dt = -3 >> V(t) = -3t + c, met c het volume bij t=0


3t+c = 79.5h(t)^2

h(t) = sqrt((-3t+c)/79.5)

h'(t) = (-3/79.5*1/2) / sqrt((-3t+c)/79.5)

Als je met 'als de diepte van het water 1 meter is' bedoelt dat het water 1 meter boven het hoogste punt van de bodem staat, dan is het gewoon weer die 1,88 van eerst, maar als je bedoelt dat het 1 meter boven het laagste punt van de bodem staat, dan is dus h=1 > c = 79.5*1^2 = 79.5 >

h'(t) = (-3/79.5*1/2) / sqrt((-3t+c)/79.5)

= (- sqrt(53))/(53* sqrt(53 - 2*t))

t is gewoon 0 dus:

h'(t) = -.018868 m/minuut > 1,89 centimeter per minuut, o niet eens zo groot verschil.

Argh ik brabbel en doe vast veel te moeilijk. Heeft iemand een makkelijker oplossing voor dit probleem?

[Keith]

Ten eerste:
Voor een hoogte van het water van 0-2 meter van het zwembad geldt een andere situatie dan voor een hoogte van 2 tot 3 meter. Aangezien het hier om een diepte van 1 meter gaat zullen we dus alleen een formule opstellen voor deze diepte.

Ik zal er vanuit gaan dat het zwembad langs de langste kant helt (net als saganou)(andersom werkt evengoed).

Eerst zal ik de oppervlalkte van de waterspiegel geven als functie van de hoogte h (met h=0 op het dipeste punt van het zwembad).

O(x) = lengte * breedte = (20/2) * h * 8 = 80h

De snelheid waarmee de diepte afneemt is gelijk aan het volume water dat wordt weggepompt gedeeld door het oppervlakte waarover dit gebeurt, dus:

dh/dt = 1/(80h)

de snelheid waarmee dit gebeurd op h = 1 is dus: 1/(80 * 1) = 1/80 m/minuut


Ik hoop dat dit je wat helpt.

[saganou]

kijk dat is nou praktisch en slim Dank je voor het verlichten van mijn kennis