Vervelende limiet

[Joël]

Hallo,

Ik heb hier een nogal vervelende limiet, waarvan ik wel weet wat de uitkomst is, maar ik heb geen idee hoe je aan het antwoordt komt.

limit(sum( (n/ ((n^2)+(i^2)) ),i=1..n),n=infinity).

Er moet dus pi/4 uitkomen. Op de een of andere manier kun je het ding opvatten als een integraal, maar ik weet dus niet hoe dat moet .

Iemand een idee?

Joël.

Vreemde notatie, in feite bedoel je gewoon:

sum( (n/ ((n^2)+(i^2)) ),i=1..oneindig

Toch?

Wat er verder uitkomt weet ik niet, misschien kun je iets met Fourierreeksen.

[Joël]

Mephostophilis schreef op 30-11-2004 @ 22:12 :
Vreemde notatie, in feite bedoel je gewoon:

sum( (n/ ((n^2)+(i^2)) ),i=1..oneindig

Toch?

Wat er verder uitkomt weet ik niet, misschien kun je iets met Fourierreeksen.

Nee, 't is echt een limiet... Als je 'm in Maple invoert, komt er Pi/4 uit.

Dat is dus hetzelfde als de som van i=1 tot oneindig van (-1)^(i+1)/(2i-1) ofzo

[liner]

van
lim(1-1/3+1/5+...+(-1)ⁿ/(2n+1)=Pi/4
n pijltje omhoog + oneindig
dus ook!
ik ben hier niet goed in, zeer slechts zelfs,. maar voor deze boven wordt o.a gebruikt gemaakt van integraal(tanⁿx dx) van 0 naar pi/4

[liner]

wat betreft limit(sum( (n/ ((n^2)+(i^2)) ),i=1..n),n=infinity).

ik denk dat we gebruik kunnen maken van Integral(0 naar 1 van 1/(1+x²) dx))=pi/4
en dan een beetj denken aan Riemann en zijn sommen..