integraal van cos

[bulbanos]

hehe

niet van cos(x) natuurlijk maar wel van cos(1/x)dx
die is wel een hoop moeilijker me dunkt

[Young Grow Old]

ik heb maar even heel lomp gesubstitueerd:
x=1/arccos(u)
dx=-du/sqrt(1-u²)
levert Int(-u*du/sqrt(1-u²))
substitueer u=sin(y)
du=cos(y)*dy
Int(-sin(y)*cosy*dy/(sqrt(1-sin(y)²))=
Int(-sin(y)*dy)=cos(y)
y=arccos(u)
u=cos(1/x)
cos(y)=cos(arcsin(u))=cos(arcsin(cos(1/x)))
hier is vast een mooiere uitdrukking voor, maar het is een primitieve :)

[Global]

mooi die

edit: ow laat maar

[mathfreak]

Young Grow Old schreef op 30-12-2004 @ 16:47 :
x=1/arccos(u)
dx=-du/sqrt(1-u²)

Dit klopt niet. Er geldt namelijk: 1/arccos(u)=(arccos(u))^-1,
dus dx=d((arccos(u))^-1)=-(arccos(u))^-2*du/sqrt(1-u²)
=-du/(arccos²(u)*sqrt(1-u²)).
Ga er overigens maar van uit dat het niet mogelijk is om cos(1/x) te integreren met behulp van standaardintegralen. Waarschijnlijk heb je hier toch het gebruik van machtreekstechnieken nodig.

[bulbanos]

thx
komt nochthans voor in onze oefeningen maar is wrsch niet de bedoeling ze expliciet te berekenen. Ze moet bestaan

De integraal bestaat, want abs(cos(1/x)) =< 1 en de integraal van 1 bestaat. (majoratie)

Edit: dit geldt dan natuurlijk alleen in een interval zonder 0, want in 0 is cos(1/x) niet gedefinieerd. De limiet van x naar 0 bestaat ook niet, dus als je iets wil kunnen zeggen over x=0 zul je moeten gaan reeksontwikkelen.

[mathfreak]

bulbanos schreef op 31-12-2004 @ 12:41 :
thx
komt nochthans voor in onze oefeningen maar is wrsch niet de bedoeling ze expliciet te berekenen. Ze moet bestaan

In dat geval moet je nagaan of de integrand op een gegeven interval [a,b] in een uniform convergente reeks te ontwikkelen is. Als dat zo is, krijg je door termsgewijze integratie een uniform convergente reeks voor de integraal van a tot x van f(t)*dt.