[WI] Integraaltje

Is er een algemene manier om een integraal van de vorm (a-x^k)^n kan oplossen?

Hmm, voor zover ik weet alleen voor k = 1, of voor de vorm x^(k-1)*(a-x^k)^n

[Tampert]

Oeps. ik kan weer erg goed lezen... Negeer het dan maar


Ja. Dat kan met de kettingregel:

u=(a-x^k)

f(u)=uⁿ
differentieren geeft:
df(u)/du=n*u^n-1

du/dx =0-k*x^k-1

df/dx = df/du*du/dx = n*u^n-1*-k*x^k-1
=n*(a-x^k)^(n-1)*-k*x^k-1
=-k*n*(a-x^k)^(n-1)*x^k-1

Tampert schreef op 13-01-2005 @ 21:32 :
Ja. Dat kan met de kettingregel:

u=(a-x^k)

f(u)=uⁿ
differentieren geeft:
df(u)/du=n*u^n-1

du/dx =0-k*x^k-1

df/dx = df/du*du/dx = n*u^n-1*-k*x^k-1
=n*(a-x^k)^(n-1)*-k*x^k-1
=-k*n*(a-x^k)^(n-1)*x^k-1

Integreren hè.

[Young Grow Old]

wat je wel kunt zeggen is:
(a-x^k)ⁿ=
Som(k=1..n) ((n boven k)*(-x)^k*a^k).
Binomium van Newton!

Als je deze dan primitiveert, dan krijg je:
Som(k=1..n) ((n boven k)*(-x)^k+1*a^k/(k+1)).

Ik zie alleen niet zo snel hoe je deze weer terug kunt schrijven in een "mooie vorm". Naast het feit dat hij alleen sommeerbaar is voor |x|<1, dus begin ik te twijfelen of ik niet gezondigd heb door deze som zomaar te primitiveren (zoals mijn analyse-docent zou zeggen).

[Tampert]

Mephostophilis schreef op 13-01-2005 @ 21:33 :
Integreren hè.

Dat doe ik zo vaak fout (ook op tentamens

Young Grow Old schreef op 13-01-2005 @ 21:36 :
wat je wel kunt zeggen is:
(a-x^k)ⁿ=
Som(k=1..n) ((n boven k)*(-x)^k*a^k).
Binomium van Newton!

Als je deze dan primitiveert, dan krijg je:
Som(k=1..n) ((n boven k)*(-x)^k+1*a^k/(k+1)).

Ik zie alleen niet zo snel hoe je deze weer terug kunt schrijven in een "mooie vorm". Naast het feit dat hij alleen sommeerbaar is voor |x|<1, dus begin ik te twijfelen of ik niet gezondigd heb door deze som zomaar te primitiveren (zoals mijn analyse-docent zou zeggen).

Je moet bewijzen dat er voldaan wordt aan de D-stelling... Iets waar ik op dit moment zeker geen zin in heb.

[Young Grow Old]

Mephostophilis schreef op 13-01-2005 @ 21:37 :
Je moet bewijzen dat er voldaan wordt aan de D-stelling... Iets waar ik op dit moment zeker geen zin in heb.

Hehe, dat had ik zelf ook al niet
Maar een andere mogelijkheid om de integraal te veralgemeniseren (is dat een woord?), zag ik niet, dus ik waagde het er maar op.

[mathfreak]

Young Grow Old schreef op 13-01-2005 @ 21:36 :
wat je wel kunt zeggen is:
(a-x^k)ⁿ=
Som(k=1..n) ((n boven k)*(-x)^k*a^k).
Binomium van Newton!

Als je deze dan primitiveert, dan krijg je:
Som(k=1..n) ((n boven k)*(-x)^k+1*a^k/(k+1)).

Ik zie alleen niet zo snel hoe je deze weer terug kunt schrijven in een "mooie vorm". Naast het feit dat hij alleen sommeerbaar is voor |x|<1, dus begin ik te twijfelen of ik niet gezondigd heb door deze som zomaar te primitiveren (zoals mijn analyse-docent zou zeggen).

Je uitwerking van de binomiaalformules klopt niet. Uitschrijven van (a-x^k)ⁿ geeft namelijk: (a-x^k)ⁿ=Som(k=0..n)[c(n,k)*(-1)^k*a^k*x^n-k], waarbij c(n,k) de binomiaalcoëfficiënt n boven k voorstelt. Integreren hiervan geeft Som(k=0..n)[c(n,k)/(n-k+1)*(-1)^k*a^k*x^n-k+1] als de gevraagde integraal.

[Bernero]

Young Grow Old schreef op 13-01-2005 @ 21:39 :
Hehe, dat had ik zelf ook al niet
Maar een andere mogelijkheid om de integraal te veralgemeniseren (is dat een woord?), zag ik niet, dus ik waagde het er maar op.

dat heet generaliseren volgens mij

Of de wiskundigen moeten weer eigenwijs zijn geweest en een eigen woord bedacht hebben

Bernero schreef op 15-01-2005 @ 18:56 :
dat heet generaliseren volgens mij

Of de wiskundigen moeten weer eigenwijs zijn geweest en een eigen woord bedacht hebben

'Algemene oplossing' of 'standaardoplossing'.

[Bernero]

Mephostophilis schreef op 15-01-2005 @ 18:56 :
'Algemene oplossing' of 'standaardoplossing'.

En nu een werkwoord van maken

standaardiseren bestaat volgens mij ook

[Integer]

Standaardiseren betekent meestal in een bepaalde context iets heel anders. Veralgemeniseren lijkt mij de beste keuze, prachtzinnen als 'without loss of generality' in acht genomen

"Veralgemenen"

[sdekivit]

Bernero schreef op 15-01-2005 @ 18:59 :
En nu een werkwoord van maken

standaardiseren bestaat volgens mij ook

standaardiseren bestaat inderdaad. In de statistiek gebruik je de formule Z = (X - mu) / sigma om een verdeling de standaard normaal curve te laten benaderen.

[Bernero]

Ik vind generaliseren toch wel het mooist

Ja ik weet dat het eigenlijk iets anders betekent, maar das bij zoveel woorden.

Veralgemeniseren...

[Integer]

Mephostophilis schreef op 16-01-2005 @ 13:08 :
Veralgemeniseren...

Ja, hou eens op met generaliseren