vragen tentamen

Graag alles met uitleg en berekening. Er mag geen gebruik worden gemaakt van een rekenmachine.

1. Voor welke reele waarde van a heeft y"+4y'+ay=0 oneindig veel nulpunten?

2. y"+4y' +5y=0 voor y(0)=0, y'(0)=1, dan geldt f(1/2pi)=

3. 1(int)0 (x²-1)/(x²+1)=

4. pi/2(int)0 xsinx =

5. Lineariseer y=³sqrt (x+7) voor x=1 en bepaal aan de hand hiervan de waarde van ³sqrt 7,5=
A= 11/6 B= 45/24 C=23/12 D=47/24
De overige waren antwoorden boven de 2 die logischerwijs afvallen.

[mathfreak]

1234213 schreef op 21-01-2005 @ 11:49 :
Graag alles met uitleg en berekening. Er mag geen gebruik worden gemaakt van een rekenmachine.

1. Voor welke reele waarde van a heeft y"+4y'+ay=0 oneindig veel nulpunten?

Stel y=e^k*x, dan geldt: y'=k*e^k*x en y"=k²e^k*x, dus de karakteristieke vergelijking luidt: k²+4*k+a=0. Stel D=16-4*a en stel D<0, dus 16-4*a<0, dus -4*a<-16, dus a>4.

1234213 schreef op 21-01-2005 @ 11:49 :
2. y"+4y' +5y=0 voor y(0)=0, y'(0)=1, dan geldt f(1/2pi)=

Stel y=e^k*x, dan geldt: y'=k*e^k*x en y"=k²e^k*x, dus de karakteristieke vergelijking luidt: k²+4*k+5=0. D=16-20=-4, dus k=-2-2*i of k=-2+2*i. Dit geeft de oplossing y=a*e^-2*x*cos(2*x)+b*e^-2*x*sin(2*x)
en y'=-2*a*e^-2*x*cos(2*x)-2*a*e^-2*x*sin(2*x)-2*b*e^-2*x*sin(2*x)
+2*b*e^-2*x*cos(2*x)=(-2*a+2*b)e^-2*x*cos(2*x)-(2*a+2*b)e^-2*x*sin(2*x). Uit y(0) volgt: 0=a en uit y'(0)=1 volgt: 2*b=1, dus b=1/2, dus y=1/2*e^-2*x*sin(2*x) en f(1/2*pi)=1/2*e^-pi*sin(pi)=0.

1234213 schreef op 21-01-2005 @ 11:49 :
3. 1(int)0 (x²-1)/(x²+1)=

Schrijf (x²-1)/(x²+1) als (x²+1-2)/(x²+1)=(x²+1)/(x²+1)-2/(x²+1)
=1-2/(x²+1). Dit geeft x-2*arctan(x) als primitieve, dus de gevraagde integraal is gelijk aan 1-2*arctan(1)=1-1/2*pi.

1234213 schreef op 21-01-2005 @ 11:49 :
4. pi/2(int)0 xsinx=

Er geldt: int(x*sin(x)*dx)=-x*cos(x)+sin(x), dus de gevraagde integraal is gelijk aan 1.

1234213 schreef op 21-01-2005 @ 11:49 :
5. Lineariseer y=³sqrt (x+7) voor x=1 en bepaal aan de hand hiervan de waarde van ³sqrt 7,5=
A= 11/6 B= 45/24 C=23/12 D=47/24
De overige waren antwoorden boven de 2 die logischerwijs afvallen.

Maak gebruik van de eerste-ordebenadering f(x+h)=f(x)+h*f'(x) met f(x)=(x+7)^1/3.

bedankt,
Ik heb nog 2 vraagjes:
- Geef de raaklijn door de kromme x²-4xy+2y³=2 door het punt (2,1)
Ik dacht eerst imp diff. 2x-4yy'+6y²y'=0
Maar hoe dan verder?

[mathfreak]

12282718 schreef op 23-01-2005 @ 14:53 :
bedankt,
Ik heb nog 2 vraagjes:
- Geef de raaklijn door de kromme x²-4xy+2y³=2 door het punt (2,1)
Ik dacht eerst imp diff. 2x-4yy'+6y²y'=0
Maar hoe dan verder?

Er zit een fout in je uitwerking bij het impliciet differentiëren. Ga uit van x²-4*x*y+2*y³=2. Links en rechts de differentiaal nemen geeft:
d(x²-4*x*y+2*y³)=2*x*dx-4*y*dx-4*x*dy+6*y²*dy=(2*x-4*y)dx
+(6*y²-4*x)dy=0, dus (6*y²-4*x)dy=-(2*x-4*y)dx,
dus dy/dx=-(2*x-4*y)/(6*y²-4*x), waarbij dy/dx de richtingscoëfficiënt van de raaklijn voorstelt. Invullen van x=2 en y=1 geeft de richtingscoëfficiënt a. De vergelijking van de raaklijn luidt: y=a*x+b. Omdat a, x en y bekend zijn kun je b berekenen, waarmee de vergelijking van de gevraagde raaklijn is gevonden.