Heel klein makkelijk meetkundesommetje

[Roos]

Ben een beetje vastgelopen bij het oplossen van een meetkundesom.
De eigenlijke opgave was natuurlijk moeilijker dan deze, maar ik ben al zover.


Men neme een driehoek ABS.
Hoek S = 90 graden
AB is de schuine zijde, AB = 5
De oppervlakte van de driehoek is 9

De vraag is: bereken AS en BS.

Nu dan.
O (ABS) = 9
O = 0,5 * basis * hoogte
9 = 0,5 * AS * SB
Dus: AS*AB = 18

Ik dacht eerst: oh, het is gewoon zo'n 3-4-5-driehoek, dus 1 zijde is 3, eentje 4 en de schuine is 5. Dit kan echter niet, want de oppervlakte van de driehoek moet 9 zijn.

Plaatje ter verduidelijking komt eraan.

[Roos]

(Je zou de vraag dus ook anders kunnen formuleren:
We hebben een rechthoek met een oppervlakte van 18 (namelijk, twee van die driehoekjes) en de diagonaal is 5, geef de lengtes van de zijden.)

rosi schreef:
9 = 0,5 * AS * SB

AS^2 + SB^2 = 25

AS^2 + (9 / (0,5 * AS))^2 = 25

En dan oplossen

[edit: 81 moet 25 zijn]

[Roos]

******** schreef:
AS^2 + SB^2 = 81

AS^2 + (9 / (0,5 * AS))^2 = 81

En dan oplossen

Oooowwh tuurlijk, wat slim. Je herschrijft dus SB, zodat je AS kan berekenen.
Maar dan zijn AS en SB toch evenlang? Want als ik vervolgens SB wil berekenen, krijg je er toch hetzelfde getal uit als bij AS..?

(arg ik heb me nog nooit zo dom gevoeld)

rosi schreef:
(arg ik heb me nog nooit zo dom gevoeld)

Nee hoor, je brengt een goed punt *denkt na*

[GinnyPig]

zijde AS noem ik a en zijde BS noem ik b.

Er geldt:

a² + b² = 5²
dus: b² = 25 - a²
b = wrtl( 25 - a² )

Verder geldt:

1/2*a*b = 9
a*b = 18
Vervang b door b = wrtl( 25 - a² ) en je krijgt:

a*wrtl( 25 - a² ) = 18
wrtl( 25a² - a⁴ ) = 18
25a² - a⁴ = 324
- a⁴ + 25a² - 324 = 0
D = 25² - 4 * 324 = - 671
D<0
Dus er zijn geen oplossingen...

Ra ra, hoe kan dat?

GinnyPig schreef:
Ra ra, hoe kan dat?

LoL

SQRT(5^2 / 2) = 3.535

(3.535 * 3.535) / 2 = 6.25 MAX

[edit: het kan dus ook niet, bij een lengte van AB = 5 is de maximale oppervlakte gelijk aan 6.25]

[GinnyPig]

Volgens mij klopt je vraag niet.

Als je namelijk 2 gelijke zijdes neemt, en daarbij de schuine zijde buiten beschouwing laat, krijg je het volgende:

0,5*a*a = 9
a*a = 18
a = wrtl(18)

Bereken je nu de schuine zijde dan krijg je:
a² + a² = AB²
2*wrtl(18)² = AB²
AB² = 36
AB = 6

Groter dan 5...

[GinnyPig]

Mjah, ******** komt dus tot dezelfde conclusie

GinnyPig schreef:
Mjah, ******** komt dus tot dezelfde conclusie

Eigenlijk stom dat ik het niet direct zag

Bij gelijke zijdes kun je dat nl. in 1 oogopslag zien: 0.5 * (5 / SQRT(2))^2

[Ignorantia]

Je weet dat AS ^ 2 + BS ^2 = 5^2

BS = 18/AS want AS * BS * 0,5 = 9

Dit samenvoegen levert AS ^ 2 + (18/AS) ^ 2 = 25

AS noem ik nu x en dan krijg je

x ^ 2 + (18/x) ^2 = 25

x ^ 2 + (324/x ^2) = 25

In principe is dit natuurlijk op te lossen, alleen het vervelende is dat ik de laatste stap niet kan maken, ook niet op verschillende manieren.

Een beetje klooien met de afgeleide levert op dat de functie f(x) = x^2 + (324/x^2) als minimale waarde 36 heeft. Lager komt 'ie niet, 25 zou 'ie dus nooit worden.

Conclusie: zo'n rechthoek bestaat niet.

Ik zag net dat er al meerdere mensen tot die ontdekking gekomen zijn..

[Roos]

Ok, het lag dus niet aan mij dat ik vastliep. *voelt zich weer iets slimmer*. Bedankt!

[Ignorantia]

Nee, lag niet per se aan jou, alleen vraag ik me wel af waarom jij opgaven moet beantwoorden waarop geen antwoord mogelijk is?

Of je moet stellen dat zo'n rechthoek niet bestaat en aantonen waarom, dat zou ook de bedoeling kunnen zijn.

*zich voorbereidend op wb2 toets morgen*

[Roos]

Neenee, het ligt wel aan mij. Dit was namelijk niet de opgaven zoals ik hem kreeg. Die ging over een ruit, ik had al een heel ding opgelost, dus ik dacht: ik vraag alleen dit stukje. ik heb dus blijkbaar al eerder een fout gemaakt waardoor ik er nu niet uitkwam.

[Ignorantia]

Dan zou ik zeggen: post de hele opgave maar!

[Kubstudent]

Ignorantia schreef:
Dan zou ik zeggen: post de hele opgave maar!

Inderdaad... eens kijken of ik nog wat Wiskunde B ergens vandaan kan peuteren...

Kubstudent schreef:
Inderdaad... eens kijken of ik nog wat Wiskunde B ergens vandaan kan peuteren...

Ghehe, daarom zit ik hier ook .. om mijn geheugen soms eens op te frissen