bewijzen dat een som != geheel getal

[mastertime]

hoi,
hier komt de vraag waarmee k al een tijdje zit te worstelen..:
toon aan dat 1+1/2+1/3+..+1/n geen geheel getal is,

is de som dan wel rationeel?


hoe moet ik deze vraag aanpakken?
mijn idee was; zoek naar een schatting van 1+1/2+1/3+..+1/n of stel dat 1+1/2+1/3+..+1/n even is, of stel dat 1+1/2+1/3+..+1/n oneven is, en zoek naar een tegenstrijdige conclusie

[Young Grow Old]

Antwoord op je kleine tussenvraagje:
Zolang het aantal termen eindig is, is de som uiteraard rationaal (en niet rationeel): je telt enkel rationale getallen bij elkaar op. Voor een oneindig aantal termen kun je in dit geval niets zeggen: deze rij is namelijk niet sommeerbaar.

[bulbanos]

toon aan dat de reeks divergeert

[TD]

Deze reeks (de 'Harmonische Reeks') is inderdaad divergent, bijgevolg is de som geen reëel getal, dus zeker geen geheel getal.

[mathfreak]

mastertime schreef op 13-02-2005 @ 17:48 :
hoi,
hier komt de vraag waarmee k al een tijdje zit te worstelen..:
toon aan dat 1+1/2+1/3+..+1/n geen geheel getal is,

is de som dan wel rationeel?


hoe moet ik deze vraag aanpakken?
mijn idee was; zoek naar een schatting van 1+1/2+1/3+..+1/n of stel dat 1+1/2+1/3+..+1/n even is, of stel dat 1+1/2+1/3+..+1/n oneven is, en zoek naar een tegenstrijdige conclusie

Er geldt: s_n=s_n-1+a_n. Voor n>1 geldt: s_n<2, dus s_n-1+a_n=s_n-1+1/n<2. Wil s_n dus geheel zijn, dan kan alleen maar gelden: s_n=1, dus s_n-1+1/n=1,
dus s_n-1=1-1/n=(n-1)/n, dus s_n=n/(n+1)=1, dus n+1=n. Dit is echter niet mogelijk, dus kan s_n=1+1/2+1/3+..+1/n geen geheel getal zijn.

[mastertime]

mathfreak schreef op 13-02-2005 @ 19:26 :
Er geldt: s_n=s_n-1+a_n. Voor n>1 geldt: s_n<2, dus s_n-1+a_n=s_n-1+1/n<2. Wil s_n dus geheel zijn, dan kan alleen maar gelden: s_n=1, dus s_n-1+1/n=1,
dus s_n-1=1-1/n=(n-1)/n, dus s_n=n/(n+1)=1, dus n+1=n. Dit is echter niet mogelijk, dus kan s_n=1+1/2+1/3+..+1/n geen geheel getal zijn.

zoiets had ik ook in gedachten.. alleen nog niet op papier.
wat was weer het verschil tussen rationnaal en -neel?

[Bernero]

mastertime schreef op 13-02-2005 @ 20:13 :
zoiets had ik ook in gedachten.. alleen nog niet op papier.
wat was weer het verschil tussen rationnaal en -neel?

Volgens mij woordenboek is het in de wiskunde hetzelfde, maar goed ik ben eigenlijk maar een leek

[TD]

In de wiskunde spreken we denk ik eerder van rationale getallen.

[mastertime]

Bernero schreef op 13-02-2005 @ 20:22 :
Volgens mij woordenboek is het in de wiskunde hetzelfde, maar goed ik ben eigenlijk maar een leek

eentje is een element ui Q en over de betekenis van het andere.. ik weet het niet meer.

mastertime schreef op 13-02-2005 @ 20:13 :
zoiets had ik ook in gedachten.. alleen nog niet op papier.
wat was weer het verschil tussen rationnaal en -neel?

Een rationaal getal is een getal dat een quotiënt is van twee gehele getallen van de vorm p/q met q != 0.

Een rationeel getal is een getal dat op zijn verstand afgaat en niet zijn gevoel.

[Bernero]

Mephostophilis schreef op 13-02-2005 @ 20:24 :
Een rationaal getal is een getal dat een quotiënt is van twee gehele getallen van de vorm p/q met q != 0.

Een rationeel getal is een getal dat op zijn verstand afgaat en niet zijn gevoel.

TDH schreef op 13-02-2005 @ 18:49 :
Deze reeks (de 'Harmonische Reeks') is inderdaad divergent, bijgevolg is de som geen reëel getal, dus zeker geen geheel getal.

Het gaat om de partiële som, die is dus eindig.

[TD]

Klopt, slecht gelezen en te snel geweest.
In dat geval dacht ik precies wat Mathfreak al schreef

[mastertime]

Mephostophilis schreef op 13-02-2005 @ 20:27 :
Het gaat om de partiële som, die is dus eindig.

maar als de som van 1 tot oneindig is, dan is het getal niet reeel? wat is het dan voor getal

[TD]

Dan is de som (+) oneindig.

[mastertime]

TDH schreef op 13-02-2005 @ 20:51 :
Dan is de som (+) oneindig.

oh dom van mij! duh..!
het is divergent..dit woord zegt het al

x + n < x + n + 1, dus

x + n < 1
x+n+1