equipotentie van N en Q

[Upior]

Stelling II
De verzameling van rationele getallen heeft dezelfde kardinaliteit als de verzameling van natuurlijke getallen: | | = | |.

Bewijs:
Schrijf eerst alle breuken op met een positieve teller en noemer, waarvan de som van de teller en noemer 1 is. Zo is er maar een, namelijk 0 : 1 = 0. Neem dan de breuken met positieve teller en noemer waarvan de som van de teller en noemer samen 2 is. Zo is er weer een, namelijk 1 : 1 = 1. Neem dan de breuken met positieve teller en noemer waarvan de som 3 is en rangschik die van klein naar groot. Je krijgt dan 1 : 2 en 2 : 1 = 2. Neem dan de breuken met positieve tellen en noemer waarvan de som 4 is. Rangschik die van klein naar groot en schrap de vereenvoudigbare breuken. Je krijgt 1 : 3, 2 : 2 (wordt geschrapt) en 3 : 1 = 3. Men kan zo verder gaan waarbij men telkens de vereenvoudigbare breuken schrapt. Om de elementen van Q – erbij te voegen laat men elke positieve breuk volgen door zijn negatieve broertje:

0, 1, -1, ½, -1/2, 2, -2, 1/3, -1/3, 3, -3, ¼, -1/4, 2/3, -2/3…

Als we de rij nummeren met 0, 1, 2, 3 … dan zien we dus een relatie ontstaan tussen N en Q. Dus deze twee verzamelingen zijn even groot.

Kan iemand mij die laatste stap uitleggen? Ik snap niet dat je door alleen maar twee rijen boven elkaar te leggen je hebt laten zien dat N equipotent is aan Q? Alvast bedankt..

Upior schreef op 12-03-2005 @ 17:38 :
Kan iemand mij die laatste stap uitleggen? Ik snap niet dat je door alleen maar twee rijen boven elkaar te leggen je hebt laten zien dat N equipotent is aan Q? Alvast bedankt..

je hebt een bi-jectieve functie van N naar Q gedefinieerd, dus heeft Q dezelfde cardinaliteit als N

zo kun je ook bv een bi-jectieve functie N naar Z definieren, om te laten zien dat N en Z dezelfde cardinaliteit hebben

[Young Grow Old]

Upior schreef op 12-03-2005 @ 17:38 :
Kan iemand mij die laatste stap uitleggen? Ik snap niet dat je door alleen maar twee rijen boven elkaar te leggen je hebt laten zien dat N equipotent is aan Q? Alvast bedankt..

Bij elk element van N kun je precies een element van Q aanwijzen, zodat je ze allemaal tegenkomt. Dit kan alleen maar als je er evenveel hebt (kijk in het eindige geval: als je 2 stapels lucifers hebt en je wilt weten of er op beide stapels evenveel liggen, dan kun je dit doen door steeds van beide stapels 1 lucifer te pakken. Kun je dit zo doen dat je aan elke lucifer uit stapel 1 een lucifer uit stapel 2 koppelt, zodat alle lucifers gekoppeld zijn aan een lucifer uit de andere stapel, dan had je dus evenveel lucifers. Zo werkt het ook met N en Q, alleen heb je nu oneindig veel lucifers (getallen).)

[Upior]

Ja, dat principe snap ik, alleen ik snap niet precies hóe die koppeling eruit ziet. Ik ben niet de fitste vandaag, misschien dat ik het daarom niet zie want volgens mij is het heel simpel ..

Upior schreef op 12-03-2005 @ 21:42 :
Ja, dat principe snap ik, alleen ik snap niet precies hóe die koppeling eruit ziet. Ik ben niet de fitste vandaag, misschien dat ik het daarom niet zie want volgens mij is het heel simpel ..

Omdat er een rij is van rationale getallen, waarmee alle rationale getallen uiteindelijk aan bod komen en al deze getallen gekoppeld zijn aan één natuurlijk getal, hebben N en Q dezelfde kardinaliteit.