(wk) linear programmeren

Ik moet om de maximale winst te kunnen berekenen voor een speelgoed fabriek het snijpunt vinden van twee lijnen:

3x + 2y = 240
en
4x + y = 240

Dit zou op -5x = -240 uitkomen. Maar hoe zijn ze daar ooit gekomen?

Sim0ne schreef op 18-05-2005 @ 19:57 :

3x + 2y = 240
en
4x + y = 240

Twee vergelijkingen, twee onbekenden, is te doen.
Deze is zelfs erg makkelijk: trek de tweede vergelijking 2 keer van de eerste af:

3x + 2y - 2 . (4x + y) = 240 - 2 . 240

Dit geeft als uitkomst:

-5x = -240

Dus x = 48

Invullen in een van de twee vergelijkingen geeft y = 48

Dat x en y gelijk zijn is ook meteen te zien, omdat de sommen allebei op 240 uitkomen als er een verwisseld wordt...

Wild Wizard schreef op 18-05-2005 @ 20:05 :
Twee vergelijkingen, twee onbekenden, is te doen.
Deze is zelfs erg makkelijk: trek de tweede vergelijking 2 keer van de eerste af:

3x + 2y - 2 . (4x + y) = 240 - 2 . 240

Dit geeft als uitkomst:

-5x = -240

Dus x = 48

Invullen in een van de twee vergelijkingen geeft y = 48

Dat x en y gelijk zijn is ook meteen te zien, omdat de sommen allebei op 240 uitkomen als er een verwisseld wordt...

En wat als de eerste vergelijking nu bv 3x + 2y = 500
was geweest en de tweede vergelijking gewoon 4x + y = 240 was gebleven?

[TD]

Verloopt toch volledig analoog dan? Volgens dezelfde methode:

(1) 3x + 2y = 500
(2) 4x + y = 240

Trek van (1) twee keer vgl (2) af:
-5x = 20 <=> x = -4

Uit één van de twee oorspronkelijke vgl haal je dan y.

Waarom kom ik hier dan niet uit?

2p + 3q = 510
en
5p + 2q = 725

[TD]

Waarom je er niet uitkomt weet ik niet

Ofwel werkt je met de substitutiemethode, ofwel weer via lineaire combinaties:
(1) 2p + 3q = 510
(2) 5p + 2q = 725

Vermenigvuldig (1) met 5 en (2) met -2:
(3) 10p + 15q = 2550
(4) -10p -4q = -1450

Tel (3) en (4) op:
11q = 1100 <=> q = 100

Haal p nu uit één van de oorspronkelijke vergelijkingen

TD schreef op 24-05-2005 @ 21:02 :
Waarom je er niet uitkomt weet ik niet

Ofwel werkt je met de substitutiemethode, ofwel weer via lineaire combinaties:
(1) 2p + 3q = 510
(2) 5p + 2q = 725

Vermenigvuldig (1) met 5 en (2) met -2:
(3) 10p + 15q = 2550
(4) -10p -4q = -1450

Tel (3) en (4) op:
11q = 1100 <=> q = 100

Haal p nu uit één van de oorspronkelijke vergelijkingen

Waarom vermenigvuldig je (1) met 5 en (2) met -2?

[TD]

Omdat ik dan door op te tellen die p wegkrijg.
Je had ook (ik zeg maar wat...) de eerste vgl kunnen vermenigvuldigen met 2 en de tweede met 3, en dan van elkaar aftrekken: dan valt q weg.

De bedoeling is om de vergelijkingen zodanig lineair te combineren dat één van de twee onbekenden wegvalt, zodat je één vgl in één onbekende hebt, en die kan je makkelijk oplossen.

Een andere manier is één van de twee vergelijkingen op te lossen naar één onbekende (in functie van de andere dus) en dat in de andere vergelijking te substitueren, dan heb je ook weer één vgl in één onbekende.

[Global]

Sim0ne schreef op 24-05-2005 @ 21:04 :
Waarom vermenigvuldig je (1) met 5 en (2) met -2?

zodat de p verdwijnt als je ze bijelkaar optelt

Hartstikke bedankt, ik kan het!

[TD]

Sim0ne schreef op 24-05-2005 @ 21:20 :
Hartstikke bedankt, ik kan het!

Geweldig, als je nog ergens vastzit horen we het wel

[Warsocket]

Moet het algebrarisch?
aangenoemen dat je een GR (Ti) hebt kun je het gewoon in een matrix invullen en het antwoord uit laten rekenen

[TD]

Het zal aan mij liggen maar ik vind het inderdaad stukken beter zo.
Gelukkig is het zo ver nog niet in België maar in Nederland lijkt de gemiddelde student voor het minste naar z'n "GR" te grijpen. Dit kan best ouderwets klinken maar ik vind het geen positieve evolutie. Zo heb je toch geen inzicht meer in de wiskunde?

Zelfs een snijpunt bepalen gebeurt door de GR te nemen en dan bij benadering 'af te lezen'

(PS: niks persoonlijks hoor, voel je vooral niet aangevallen hehe)

[ILUsion]

TD schreef op 31-05-2005 @ 00:14 :
Het zal aan mij liggen maar ik vind het inderdaad stukken beter zo.
Gelukkig is het zo ver nog niet in België maar in Nederland lijkt de gemiddelde student voor het minste naar z'n "GR" te grijpen. Dit kan best ouderwets klinken maar ik vind het geen positieve evolutie. Zo heb je toch geen inzicht meer in de wiskunde?

Zelfs een snijpunt bepalen gebeurt door de GR te nemen en dan bij benadering 'af te lezen'

(PS: niks persoonlijks hoor, voel je vooral niet aangevallen hehe)

Ik begrijp je mening maar al te goed, en zelf heb ik eerder gemengde gevoelens bij de ontwikkeling.

Enerzijds moet je de basis manueel kunnen oplossen, daar ben ik het helemaal met je eens. Een stelsel is een heel simpel dingetje en dat moet je wel manueel kunnen oplossen; maar als je begint met grotere stelsels (say: 4 onbekenden, 4 vergelijkingen of meer) dan heb je daar toch heel wat rekenwerk mee. Met zo'n oefeningen ben ik blij dat ik een GR heb (maar ik kan best manueel zo'n ding oplossen, het probleem is dat je vaak de tijd niet hebt).

Wat ik ook met je eens ben is dat een TI-83-achtig toestel niet gebruikt moet worden om bepaalde punten in een grafiek te zoeken; voor mij is het eerder een schets van de grafiek of een controlemiddel. Zeker als men gaat beginnen met het aflopen van de functie (trace) om een benadering van een waarde te krijgen.

Laat ik duidelijk stellen: ik gebruik mijn GR heel vaak (als hij de berekening aankan en ik anders tien minuten zit te tellen), maar ik heb genoeg inzicht in de wiskunde om te weten wat ik aan het doen ben. Laat ik ook maar direct zeggen dat ik een Belg ben. Van mij mag je gerust zeggen dat het uit luiheid is, maar het belangrijkste aan mijn 7 uur wiskunde is dat ik zowel een oefening manueel kan maken, als een oefening met een computer/RM en weet waarmee ik bezig ben. Ook is het onmogelijk om veel oefeningen helemaal manueel te maken omdat je daar gewoon te veel tijd in steekt. Matrices vermenigvuldigen, determinanten van matrices berkenen. Bij kleine matrices is alles nog goed te doen, maar begin je daar ook met 4x4 of hoger dan zit je toch ook wel enige tijd bezig (3x3-determinanten doe ik steeds manueel, de schuld ligt bij Sarrus met zijn verdomd handige regel).

Volgens mij zullen mensen die echt interesse in wiskunde hebben gewoon manueel proberen als ze de tijd hebben, anderen zullen maar al te graag een hulpmiddel gebruiken (want volgens mij is een rekenmachine ook niet meer dan een hulpmiddel om sneller tot een resultaat te komen).

[Keith]

Ik doe nu een technische studie en erger me vaak ook aan hoe dingen op het VWO worden gedaan. Het is vooral handig bij het plotten van (parametrische) functies en het berkenen, maar verder zorgt het er wel voor dat je minder van de wiskunde gaat begrijpen.

Maar ik erger me meer aan het idee dat je steeds minder uit je hoofd moet leren. Ik ben nu bij Calculus/Analyse vaak bezig met goniometrische functies, maar weet nooit meer welke regels er ook al weer waren, terwijl dat hier toch wel deel uit hoort te maken van parate kennis.

[ILUsion]

Keith schreef op 31-05-2005 @ 19:03 :
Ik doe nu een technische studie en erger me vaak ook aan hoe dingen op het VWO worden gedaan. Het is vooral handig bij het plotten van (parametrische) functies en het berkenen, maar verder zorgt het er wel voor dat je minder van de wiskunde gaat begrijpen.

Maar ik erger me meer aan het idee dat je steeds minder uit je hoofd moet leren. Ik ben nu bij Calculus/Analyse vaak bezig met goniometrische functies, maar weet nooit meer welke regels er ook al weer waren, terwijl dat hier toch wel deel uit hoort te maken van parate kennis.

Als je sinus- , cosinus- en tangens-regels bedoelt: daar kan ik nog inkomen maar ik ken ze ook amper nog vanbuiten (sinusregel ken ik wel, cosinusregel is wat denken en tangensregel wordt 5 minuten nadenken) maar als je doelt op verdubbelingsformules en dergelijke dan mogen ze mij toch eerst het nut daarvan uitleggen. Met die andere regels valt nog wat te doen (driehoeken bepalen e.d.) maar verdubbelingsformules/somformules/... zijn voor zover ik ze gezien heb enkel nuttig voor het vereenvoudigen van functievoorschriften maar er is zo'n groot aantal formules dat ze amper te onthouden zijn (ik onthoud ze dus ook nooit, een geluk dat we hier formulebladen mogen gebruiken). Als je trouwens een echt praktische toepassing hebt voor die andere regels, dan hoor ik het wel graag (maar ik vrees ervoor).

[Keith]

Ik bedoel inderdaad de verdubbelingsformules (deze staan gelukkig op onze formulekaart) en anderen (molweide bv). Hoe ze direct in de praktijk worden toegepast weet ik ook niet. Maar bij allerlei dingen bij mijn wiskunde heb ik ze nodig.

ILUsion schreef op 31-05-2005 @ 19:35 :
Als je sinus- , cosinus- en tangens-regels bedoelt: daar kan ik nog inkomen maar ik ken ze ook amper nog vanbuiten (sinusregel ken ik wel, cosinusregel is wat denken en tangensregel wordt 5 minuten nadenken) maar als je doelt op verdubbelingsformules en dergelijke dan mogen ze mij toch eerst het nut daarvan uitleggen. Met die andere regels valt nog wat te doen (driehoeken bepalen e.d.) maar verdubbelingsformules/somformules/... zijn voor zover ik ze gezien heb enkel nuttig voor het vereenvoudigen van functievoorschriften maar er is zo'n groot aantal formules dat ze amper te onthouden zijn (ik onthoud ze dus ook nooit, een geluk dat we hier formulebladen mogen gebruiken). Als je trouwens een echt praktische toepassing hebt voor die andere regels, dan hoor ik het wel graag (maar ik vrees ervoor).

Nuttige toepassingen voor die regels zijn er vele; ik nodig je van harte uit een studie technische natuurkunde te gaan doen en dat uit te vinden.

Toevallig heb ik de 'Mollweide'-formules nog gebruikt bij een vak (inleiding numerieke methoden) vandaag.

[Warsocket]

TD schreef op 31-05-2005 @ 00:14 :
Het zal aan mij liggen maar ik vind het inderdaad stukken beter zo.
Gelukkig is het zo ver nog niet in België maar in Nederland lijkt de gemiddelde student voor het minste naar z'n "GR" te grijpen. Dit kan best ouderwets klinken maar ik vind het geen positieve evolutie. Zo heb je toch geen inzicht meer in de wiskunde?

Zelfs een snijpunt bepalen gebeurt door de GR te nemen en dan bij benadering 'af te lezen'

(PS: niks persoonlijks hoor, voel je vooral niet aangevallen hehe)

als je je matrix door je rekenmachine laat uitlrekenen krijg je geen benadering maar gewoon precies de kloppende onbekenden

de top "brute forcen" is wat anders dan krijg je allen een benadering
maar waarom zou ik als ik weet dat ik algebrarisch vergelijkingen met meerdere onbekenden kan uitrekenen mijn kostbare tijd eraan verspillen als mijn GR dat ook kan ?

[TD]

Waar zeg ik dat de GR een matrix numeriek benadert? Het zou trouwens best kunnen, maar toen doelde ik dus op het 'aflezen' van snijpunten.

Nergens ontken ik ook het nut van zo'n ding, al vind ik het persoonlijk veel handiger om zoiets met een computer te doen, ik neem aan dat je in je professioneel leven later daar ook over beschikt.

Wat het oplossen van 'grote stelsels' betreft, uiteraard bespaart zo'n ding dan tijd en zal ik het dan ook niet altijd met de hand doen. Wat mij stoorde (en dat is op didactisch vlak) is dat zelfs de wiskundige richtingen van begin af ook elementaire zaken met een GR moeten oplossen zodat de wiskundige achtergrond volledig verloren gaat (zoals een stelsel om een snijpunt te bepalen).

Het oplossen van eenvoudige, maar vaak voorkomende, 2x2-stelsels lukt me trouwens ook sneller met de hand dan met een GR beginnen, maar dat terzijde.

Het gaat overigens verder dan alleen de GR alleen, ook het gebruik van formulelijsten voor zowat elke formule vind ik niet goed. Om aan wiskunde te doen, van eenvoudige tot complexere (vraagstukjes tot integralen of DV'en) moet je vaak formules toepassen. Ik vind niet dat je ze allemaal van buiten moet leren als een papegaai (is ook onzinnig) maar door ze te begrijpen en uit elkaar af te leiden verkrijg je inzicht en ken je het meerendeel trouwens quasi van buiten na een tijd. Niet zo als je vanaf het begin mag grijpen naar een lijst. En dan zit je eens zonder je kostbare lijst...

Niemand ontkent (ik althans niets) dat je later, wanneer je het moet toepassen, zoiets gewoonlijk láát uitrekenen. Maar wanneer je wiskunde studeert hoor je, vind ik, te begrijpen wat je doet en niet alleen maar te leren hoe je toetsen indrukt en het aan een GR vraagt. Dat is informatica o.i.d., geen wiskunde.

[ILUsion]

[QUOTE]TD schreef op 01-06-2005 @ 23:17 :
Waar zeg ik dat de GR een matrix numeriek benadert? Het zou trouwens best kunnen, maar toen doelde ik dus op het 'aflezen' van snijpunten.[quote]
De TI-83 en gelijkaardige modellen werken allemaal numeriek (TI-86/-92 rekenen dan weer symbolisch), dus heb je na enige tijd nog amper nut aan dat ding.

Nergens ontken ik ook het nut van zo'n ding, al vind ik het persoonlijk veel handiger om zoiets met een computer te doen, ik neem aan dat je in je professioneel leven later daar ook over beschikt.

Mee eens, maar is voor mij ook maar een vorm van rekenmachientje eigenlijk.

Wat het oplossen van 'grote stelsels' betreft, uiteraard bespaart zo'n ding dan tijd en zal ik het dan ook niet altijd met de hand doen. Wat mij stoorde (en dat is op didactisch vlak) is dat zelfs de wiskundige richtingen van begin af ook elementaire zaken met een GR moeten oplossen zodat de wiskundige achtergrond volledig verloren gaat (zoals een stelsel om een snijpunt te bepalen).

Weer mee eens; ik zit dan wel in een zware afdeling wiskunde maar ik merk hier ook goed dat zo'n dingen blijkbaar 'moeilijk' zijn. Ik heb nu zelf wel een heel andere achtergrond dan veel andere leerlingen (mijn grootvader is oud-wiskundeleerkracht, dus ik kreeg wiskunde met de paplepel ingelepeld: op mijn tiende wist ik al wat goniometrie ongeveer was), maar ik ben ook bekend met informatica en vooral de logica (en/of/niet/excl. of/...) vind ik een heel mooi deel. Als je zo leert nadenken, is een stelsel gewoon een puur logisch verschijnsel, terwijl het voor anderen misschien wel gigantisch abstract is, net zoals een functie heel abstract kan lijken.

Het oplossen van eenvoudige, maar vaak voorkomende, 2x2-stelsels lukt me trouwens ook sneller met de hand dan met een GR beginnen, maar dat terzijde.

Ik zou niet zeggen dat ik het sneller kan manueel, maar toch doe ik het omdat ik te lui ben steeds in die menu's te prutsen (luiheid in de andere richting dus) en eigenlijk ook wat om in vorm te blijven.

Het gaat overigens verder dan alleen de GR alleen, ook het gebruik van formulelijsten voor zowat elke formule vind ik niet goed. Om aan wiskunde te doen, van eenvoudige tot complexere (vraagstukjes tot integralen of DV'en) moet je vaak formules toepassen. Ik vind niet dat je ze allemaal van buiten moet leren als een papegaai (is ook onzinnig) maar door ze te begrijpen en uit elkaar af te leiden verkrijg je inzicht en ken je het meerendeel trouwens quasi van buiten na een tijd. Niet zo als je vanaf het begin mag grijpen naar een lijst. En dan zit je eens zonder je kostbare lijst...

Ik begrijp heel goed dat je daartegen bent, zelf ben ik eerder tegen hoe formules bij ons aangeleerd geweest zijn. Gewoon vanbuiten leren allemaal, maar je weet niet waar ze voor dienen. Vraag me een verdubbelingsformule en ik zal wellicht enige tijd moeten nadenken (maar uiteindelijk zal ik er wel komen, hoor). Het is mooi als je uit je blote koppie oefeningen kunt maken, maar dan moet je op zich ook de tijd krijgen om je een formule eigen te maken, en dat heb ik eigenlijk niet gehad (op korte tijd een 6-tal bladen met enkel formules moeten kennen), formules als (A+B)^2 zijn in het begin ook nadenken, maar je maakt daar uiteindelijk duizenden oefeningen mee dat het automatisch komt. Met die goniometrische functies, heb je daar echter veel minder oefeningen op zonder dat je echt in herhaling zult vallen. Tijd is de beste leermeester, inderdaad (maar het aantal keren dat ik die goniometrische formules elders nodig had, zullen op één hand te tellen zijn).

Niemand ontkent (ik althans niets) dat je later, wanneer je het moet toepassen, zoiets gewoonlijk láát uitrekenen. Maar wanneer je wiskunde studeert hoor je, vind ik, te begrijpen wat je doet en niet alleen maar te leren hoe je toetsen indrukt en het aan een GR vraagt. Dat is informatica o.i.d., geen wiskunde.

Ben ik het volledig mee eens. De basis van een bepaald iets moet je enerzijds manueel kunnen uitvoeren en dat beheersen, weten wat je doet etc. maar uiteindelijk is het ook de bedoeling dat je het met een computer/rekenmachine kunt reproduceren en inschatten of je daarbij een afrondingsfout of iets dergelijke maakt. Ook is het zonde van de tijd als je bijvoorbeeld eerst een ganse week afgeleiden zit te berekenen totdat die formules uit je oren komen (de tijd heeft me die formules juist wel geleerd), om de week daarna functieverlopen te gaan beschrijven aan de hand van die afgeleiden maar dat je meer tijd steekt in de afgeleiden te berekenen dan in het werkelijke werk. Op dat punt zou ik het rechtvaardig vinden als je een symbolische rekenmachine/computer gebruikt om die afgeleide te berekenen en daar dan verder mee te gaan werken. (Dat laatste natuurlijk om een heel simpel voorbeeld te geven, de eerste oefeningen kun je heus wel manueel doen, maar na een stuk of 10 gelijkaardige oefeningen zit ik hier wel te sakkeren op al dat rekenwerk voor die 'paar' gegeventjes die werkelijk nodig zijn terwijl het eerder over die stap afgeleide > stijgen/dalen van de functie gaat).