Complexe getallen

[Dr HenDre]

Morgen heb ik een tentamen over complexe getallen, maar er zijn een aantal dingen die ik niet helemaal snap. Ik heb aantekeningen over het oplossen van een vergelijking, alleen snap ik t niet meer. Dit staat er:

z²=3+4i (=5(³/₅ + ⁴/₅i))
z² = z*z
abs van |z²|=|z|² = sqrt(3³+4²)=5
dus |z|=sqrt(5)
tot zover snap ik het
arg(z²) = 2arg(z) = fi
en
cos fi = ³/₅
en
sin fi = ⁴/₅
dus
2=sqrt(5)*(cos(^fi/₂)+i sin(^fi/₂)) = 2+i (deze stap snap ik niet :s)
en
=sqrt(5)*(cos(^fi/₂+π) + i i sin(^fi/₂+π) = -2-i
(ik snap wel waarom je er pi bij op moet tellen, maar niet hoe je dan aan het uitkomst -2-i komt).

Iemand die me kan helpen?

Ow ja, en daarnaast, hoe bepaal je de argument van een bepaalde som. Stel ik heb -i wat is daar de argument van?

[Safe]

Je opl bevinden zich op een cirkel met straal sqrt(5) en de oorsprong als middelpunt. Daarop liggen de ptn 2+i en -2-i.

[Safe]

Het argument van -i is -Pi/2+k*2Pi

[mathfreak]

Dr HenDre schreef op 05-02-2006 @ 14:50 :
Morgen heb ik een tentamen over complexe getallen, maar er zijn een aantal dingen die ik niet helemaal snap. Ik heb aantekeningen over het oplossen van een vergelijking, alleen snap ik t niet meer. Dit staat er:

z²=3+4i (=5(³/₅ + ⁴/₅i))
z² = z*z
abs van |z²|=|z|² = sqrt(3³+4²)=5
dus |z|=sqrt(5)
tot zover snap ik het
arg(z²) = 2arg(z) = fi
en
cos fi = ³/₅
en
sin fi = ⁴/₅
dus
2=sqrt(5)*(cos(^fi/₂)+i sin(^fi/₂)) = 2+i (deze stap snap ik niet :s)
en
=sqrt(5)*(cos(^fi/₂+π) + i i sin(^fi/₂+π) = -2-i
(ik snap wel waarom je er pi bij op moet tellen, maar niet hoe je dan aan het uitkomst -2-i komt).

Iemand die me kan helpen?

Ow ja, en daarnaast, hoe bepaal je het argument van een bepaalde som. Stel ik heb -i wat is daar het argument van?

Er geldt: sin(fi)=2*sin(1/2*fi)*cos(1/2*fi)=4/5, dus sin(1/2*fi)*cos(1/2*fi)=2/5. Verder geldt: cos(fi)=cos²(1/2*fi)-sin²(1/2*fi)=2*cos²(1/2*fi)-1=3/5, dus 2*cos²(1/2*fi)=8/5, dus cos²(1/2*fi)=4/5, dus cos(1/2*fi)=2/5*sqrt(5) of cos(1/2*fi)=-2/5*sqrt(5). Voor cos(1/2*fi)=2/5*sqrt(5) vinden we: sin(1/2*fi)=1/5*sqrt(5) en z=sqrt(5)(2/5*sqrt(5)+i*1/5*sqrt(5))=5*2/5+5*i*1/5=2+i. Voor cos(1/2*fi)=-2/5*sqrt(5) vinden we: sin(1/2*fi)=-1/5*sqrt(5) en z=sqrt(5)(-2/5*sqrt(5)-i*1/5*sqrt(5))=-5*2/5-5*i*1/5=-2-i.
Om het argument van -i te vinden schrijf je -i als 0-1*i=r(cos(fi)+i*sin(fi)). Je vindt dan: r=1, cos(fi)=0 en sin(fi)=-1, dus fi=arg(-i)=-1/2*pi.

[Dr HenDre]

dank je wel
ik had een 3 maar ik snap dit stuk nu iig wel. Nu nog complexe polynomen