Meetkundige plaats

[wp160366]

Als huistaak kreeg ik volgende oefening:

We beschouwen in een georthonormeerd assenstelsel de parabool P²=4x en nemen op de Y-as een punt p(0,3). Door de oorsprong o nemen we een veranderlijke rechte A die de parabool snijdt in een tweede punt r. Van het lijnstuk [or] nemen we het midden m. Door dit midden trekken we de reste S evenwijdig met X. Verder trekken we door p de loodlijn L op de rechte A. Deze rechte A snijdt de rechte S. Bepaal nu de meetkundige plaats van dit snijpunt (we laten A dus ronddraaien door de oosprong).

Ik heb alles gevonden, behalve de meetkundige plaats. Iemand die me kan helpen?

Alvast bedankt,

[mathfreak]

wp160366 schreef op 12-02-2006 @ 10:05 :
Als huistaak kreeg ik volgende oefening:

We beschouwen in een georthonormeerd assenstelsel de parabool P²=4x en nemen op de Y-as een punt p(0,3). Door de oorsprong o nemen we een veranderlijke rechte A die de parabool snijdt in een tweede punt r. Van het lijnstuk [or] nemen we het midden m. Door dit midden trekken we de rechte S evenwijdig met X. Verder trekken we door p de loodlijn L op de rechte A. Deze rechte A snijdt de rechte S. Bepaal nu de meetkundige plaats van dit snijpunt (we laten A dus ronddraaien door de oosprong).

Ik heb alles gevonden, behalve de meetkundige plaats. Iemand die me kan helpen?

Alvast bedankt,

Laat de rechte a gegeven zijn door de vergelijking y=a*x. Het snijpunt R van a met P vinden we uit de vergelijkingen y²=4*x en y=a*x, dus er moet gelden: a²*x²=4*x, dus a²*x²-4*x=x(a*x-4)=0, dus x=0 of a*x-4=0, dus x=0 of x=4/a. Voor x=0 vinden we: R=0. Voor x=4/a vinden we: y=4, dus R=(4/a,4). Voor het punt M vinden we dan: M=(2/a,2). De rechte S door M en evenwijdig aan de X-as wordt dan gegeven door y=2.
We zoeken nu een rechte l die door P gaat, loodrecht op a staat en door S gaat. Omdat l loodrecht op a staat heeft l de richtingscoëfficiënt -1/a. Dit geeft de vergelijking y=-1/a*x+b. Omdat l door S gaat geldt: y=2, dus 2=-1/a*x+b, dus -1/a*x=2-b, dus x=-2*a+a*b=a(b-2). Omdat l door P gaat geldt: y²=4*x, dus (2-b)²=4*a*b-8*a, dus 4-4*b+b²=4*a*b-8*a, dus b²-4*b(1+a)+4-8*a=0. Voor D=16(1+a)²-16+32*a<0 heeft deze vergelijking in b geen oplossingen. Uitwerken van D geeft: 16+32*a+16*a²-16+32*a=16*a²+64*a=16*a(a+4). D<0 geeft dan: 16*a(a+4)<0, dus voor -4<a<0 heeft b²-4*b(1+a)+4-8*a=0 geen oplossingen. D=0 geeft: a=0 of a=-4. Voor a=-4 vinden we dan: b=-12/2=-6 en x=-4*-8=32, dus dat geeft het punt (32,2). D>0 geeft: 16*a(a+4)>0, dus a<-4 of a>0 en b=[-4(1+a)-sqrt(16*a(a+4))]/2=-2(1+a)-2*sqrt(a(a+4)) of b=[-4(1+a)+sqrt(16*a(a+4))]/2=-2(1+a)+2*sqrt(a(a+4)). Voor b=-2(1+a)-2*sqrt(a(a+4)) vinden we: x=a(-2(1+a)-2*sqrt(a(a+4))-2)=a[-4-2*a-2*sqrt(a(a+4))]
=-2*a²-2*a(sqrt(a(a+4))+2), dus dat geeft het punt (-2*a²-2*a(sqrt(a(a+4))+2),2). Voor b=-2(1+a)+2*sqrt(a(a+4)) vinden we: x=a(-2(1+a)+2*sqrt(a(a+4))-2)=a[-4-2*a+2*sqrt(a(a+4))]
=-2*a²+2*a(sqrt(a(a+4))-2), dus dat geeft het punt (-2*a²+2*a(sqrt(a(a+4))-2),2).
Nog even een opmerking: namen van punten en kegelsneden worden altijd weergegeven met een hoofdletter, en namen van rechten met een kleine letter.

[Safe]

@mathfreak
Het spijt me, dat ik 't niet heb nageplozen maar ik denk dat er iets grondig misgaat.

@wp...
Kies een punt r op de par (r²,2r) voor alle reële getallen is dit een punt op de geg par. (Ga dat na!)
De lijn A heeft de verg y=2/r*x met r≠0.
De lijn M heeft de verg y=r
De lijn L heeft de verg y=-r/2*x +3. (begrijp je deze verg)
We zoeken het snijpunt van M en L (en nu komt het!) elimineer r uit het stelsel M en L, dit geeft y=-y/2*x+3 of 2y=-xy+6 of
y(x+2)=6, dus V: y=6/(x+2) met x≠-2.
Deze laatste verg stelt de verz van alle snijptn van M en L voor, ofwel de meetkundige plaats van dit snijpunt.
Dit laatste moet je heel rustig overdenken want dat is de moeilijkste stap.

Opm: r=0 geeft geen punt van de gevraagde verz. Ga dat na!
Maar dan kan omdat y=r, y niet gelijk zijn aan 0! En dat klopt met V. Als je r zeer groot neemt (bv 1000000) zal de x-waarde van het snijpunt van M en L steeds dichter bij -2 komen te liggen. Dat geldt ook voor r naar negatief zeer groot. Ga dat na!

[wp160366]

Allebei bedankt voor jullie moeite!

Safe, bedankt voor deze uitwerking die er (denk ik) beter uitziet

[Safe]

Je moet wel alles nagaan hoor!
En als er nog vragen zijn, stel ze dan!

wp160366 schreef op 12-02-2006 @ 21:48 :
Allebei bedankt voor jullie moeite!

Safe, bedankt voor deze uitwerking die er (denk ik) beter uitziet

Uitkijken, Rutger Kopland schreef al: het is makkelijker een som op te schrijven waarvan het antwoord op nul uitkomt dan 1,96.