vraagje integralen

[pino123]

als je de opp tussen twee fucties wil berekenen tov de x-as dan moet je de functie die het verst van de x-as min de functie die het dichst bij de x-as primitiveren etc.?

toch?

[TD]

Ja, in de veronderstelling dat de functies niet snijden op dat interval.

Het is eenvoudig te zien, stel dat f(x) > g(x) op het interval [a,b] en je wil de oppervlakte ertussen. Via INT f(x) dx (a tot b) bereken je de oppervlakte onder f(x). Je hebt nu de oppervlakte onder g(x) teveel gerekend, dus die kan je eraf trekken via INT g(x) dx (a tot b). Maar de integraal is lineair, dus dat kan je samennemen als:

INT f(x) dx - INT g(x) dx = INT f(x)-g(x) dx

Uiteraard opnieuw allemaal tussen a en b.

[pino123]

TD schreef op 26-03-2006 @ 15:22 :
Ja, in de veronderstelling dat de functies niet snijden op dat interval.

en als dat wel zo is toch ook, bv snijpunten x=a en x=b.

dan is dat toch ook zo?


p.s. een voorbeeld
f(x)= x - 2*sqrt. x en g(x)=-x. gebied bepalen tussen snijpunten (x=0 en x=1)
dan krijg je toch integraal van f(x)-g(x) van (0 tot 1) , want f(x) ligt dus/dan het verst van de x-as

ik krijg echter opp =~ -0,33. dus moet integraal zijn van g(x)-f(x)

[TD]

pino123 schreef op 26-03-2006 @ 15:28 :
en als dat wel zo is toch ook, bv snijpunten x=a en x=b.

dan is dat toch ook zo?

Nee, dan kan je niet zomaar f(x)-g(x) doen want dan geldt f(x) > g(x) niet meer op dat interval.
Stel dat ze elkaar snijden in een punt c tussen a en b waarbij de oppervlakte tussen de grafieken voor c en na c identiek is. Als je dan gewoon f(x)-g(x) integreert zal je 0 uitkomen omdat beide oppervlaktes even groot zullen zijn, maar bij deze integratie wel tegengesteld van teken.

Wat je in het algemeen geval hier wil doen is f(x)-g(x) integreren van a tot c en dan vanaf c tot b g(x)-f(x). Dit is in de veronderstelling dat f(x) > g(x) op (a,c) en dan g(x) > f(x) op (c,b).

pino123 schreef op 26-03-2006 @ 15:28 :
p.s. een voorbeeld
f(x)= x - 2*sqrt. x en g(x)=-x. gebied bepalen tussen snijpunten (x=0 en x=1)
dan krijg je toch integraal van f(x)-g(x) van (0 tot 1) , want f(x) ligt dus/dan het verst van de x-as

ik krijg echter opp =~ -0,33. dus moet integraal zijn van g(x)-f(x)

Eigenlijk is het een beetje ongelukig verwoord; 'het verst van de x-as'. Beter zou echt zijn om de functiewaarden te vergelijken, je moet dan de grootste min de kleinste doen om een positieve oppervlakte te krijgen. Hier ligt f(x) inderdaad verder van de x-as, maar ze liggen op de interval wel allebei onder de x-as! Er geldt dus g(x) > f(x) (want minder negatief!), vandaar dat je -1/3 vond.

In principe maakt het natuurlijk niet veel uit, als ze elkaar niet snijden mag je ze willekeurig van elkaar aftrekken en dan neem je de absolute waarde van de integraal om de oppervlakte te krijgen. Je zal namelijk hoogstens een tekenfout maken, de getalwaarde zelf zal niet verschillen.

[pino123]

en als f en g (f > g) elkaar snijden in punt a en b, met x(a)=c en x(b)=d

opdr. bereken opp tussen grafiek van f en g

dan wel: de integraal van f(x)-g(x), primitiveren met c en d en aftrekken

[TD]

Ja tuurlijk, ik had het over snijpunten bínnen het interval waarover je integreert. Dus stel ze snijden in a < c < b en je zou integreren van a tot b in één keer...

Wat je bedoelt met x(a) en x(b) is me niet duidelijk, a en b zijn toch al de x-waarden? Zijn c en d dan de y-waarden, dus f(a) en (b)? In elk geval, je integratiegrenzen zijn de x-waarden, dus gewoon a en b.

[pino123]

bedankt !!

heb morgen belangrijke toets

[TD]

Succes ermee