intergraal

[jbtq]

twee vraagjes over intergraal rekenen.

Ik zit met de intrgraal onder -0,5 pi en boven pi van de modus functie | 2 sin x | Ik snap hoe het moet, maar alleen die primitieve van 2 sin x krijg ik niet Ik dacht eerst zelfs aan -2cos , maar dat klopt niet. Dus wat is de primitieve er van?

Volgende vraag gaat ook over een integraal. Je heb een functie 1+1/x
Die verdeel je over het interval 1 tot 5 in vier stukken met gelijke afstand. Benader nu de ondersom en de boven som zo nou keurig mogelijk

Oke Ik heb wat geprobeerd, maar komt niet echt uit.
ten eerste heb ik [Xk-Xk-1] berekend. Er daar kwam 1 uit Dan met sommatie teken Mk* [ Xk-Xk-1]

dan lijkt mijn dat je bij de ondersom het volgende krijgt.
1*1,5 + 1*1[2/3]. etc.
Immers de laagste waarde van interval 1-2 is 2 en van 2-3 is 3 etc
Zodat je de waarde 2 tot en met 5 gebruikt. De boven som ook via hetzelfde schema, maar dan gebruik je b.v. over interval [1-2] gebruik je 1 waar dus 1*2 uitkomt etc. Maar als ik dit doe kom ik op een oppervlakte van 0,8 uit, en dat klopt niet echt. Wat doe ik fout?? Zit het e.v.t in het feit dat je bij die alleen de oppervlakte tussen de waardes bepaalt. je trek ze van elkaar af, maar daarbij trek je natuurlijk meer af dan je wilt. Klopt dit?/ Vind het moeilijk uit te leggen wat ik bedoel.

Alvast bedankt!

[BTL_BTR]

De primitieve van 2sin(x) is dus toch echt -2cos(x)

[ThaMark]

BTL_BTR schreef op 11-04-2003 @ 22:32:
De primitieve van 2sin(x) is dus toch echt -2cos(x)

Ik zit even te twijfelen of het nu -2cos(x) is of -2xcost(x)

COS naar SIN blijft +
SIN naar COS wordt -
Maar volgensmij wordt er tussen de haken iets naar voren gehaald.

Volgensmij is het wel -2cos(x), dat dit de regel was/is:

bsin(ax) => -ab COS(ax)
bcos(ax) => +ab SIN(ax)

Maar zeker weet ik het niet meer, 't is alweer 3 jaar geleden......

Misschien dat ik het l8rz nog ff opzoek

[ThaMark]

Dit is het:

Functie f => Primitieve van f
===================
sin(ax) => - (1/a) * COS(ax) + c
cos(ax) => + (1/a) * SIN(ax) + c
e^ax => +(1/a) * (e^ax) + c
1/x => Ln|x| + c


Bron: blz 219 van het boek Wiskunde voor hoger beroepsonderwijs Deel1 : ISBN: 90-395-0529-2 (voor de geintresseerden )

[pol]

ThaMark schreef op 11-04-2003 @ 22:49:
Ik zit even te twijfelen of het nu -2cos(x) is of -2xcost(x)

COS naar SIN blijft +
SIN naar COS wordt -
Maar volgensmij wordt er tussen de haken iets naar voren gehaald.

Volgensmij is het wel -2cos(x), dat dit de regel was/is:

bsin(ax) => -ab COS(ax)
bcos(ax) => +ab SIN(ax)

Maar zeker weet ik het niet meer, 't is alweer 3 jaar geleden......

Misschien dat ik het l8rz nog ff opzoek

Is de afgeleide van -2xcos(x) = 2sin(x) ???? (basis primitieven)

Bij de onderste regel moet je delen door a. Als a constant is ten minste (en b ook natuurlijk)

[GinnyPig]

Voor de eerste vraag geldt, dat er geen 'nette' primitieve functie bestaat voor de functie | 2 Sin[x] |. Je zal het geheel dus anders moeten uitwerken.

Je weet namelijk dat als x tussen 0 en pi ligt, de functie 2 Sin[x] groter of gelijk aan 0 is. Er geldt dan dus: |2 Sin[x]| = 2 Sin[x].

Verder weet je, dat als x tussen -pi en 0 ligt, 2 Sin[x] kleiner of gelijk aan 0 is. Er geldt dus: |2 Sin[x]| = -2 Sin[x].

Om nu de integraal uit te rekenen gebruik je deze 2 functies.

De integraal van -1/2Pi tot 0 krijg je door -2Sin[x] te primitiveren. Dat geeft F[x] = 2 Cos[x]. De integraal wordt dan:
2 Cos[0] - 2 Cos[1/2Pi] = 2

De integraal van 0 tot Pi krijg je weer door 2 Sin[x] te integreren, oftewel F[x] = -2 Cos[x]. De integraal wordt dan:
-2 Cos[Pi] + 2 Cos[0] = 4

De integraal van -1/2 Pi tot Pi is dus de som van die 2 integralen: 6.

Waar het dus om draait is dat doordat je de absolute waarde neemt, de functie niet meer te primitiveren valt (althans niet in een 'nette' functie). En dus moet je het geheel op een andere manier oplossen. Bijvoorbeeld door de functie op te splitsen in een functies (met ieder hun eigen domein), die wel te primitiveren zijn.

[ThaMark]

pol schreef op 11-04-2003 @ 22:58:
Is de afgeleide van -2xcos(x) = 2sin(x) ???? (basis primitieven)

Bij de onderste regel moet je delen door a. Als a constant is ten minste (en b ook natuurlijk)

Ach ja, ik wist het niet meer........ vandaar die post erna, met het goede antwoord

het is voor mij ook weer 3 a 4 jaar geleden, dan raak je die shit nogal eens kwijt

[jbtq]

he,

Nou...iedereen harstikke bedankt. Maar heb een enkele nieuwe vragen: De eerste vraag is wat te doen bij breuken intergren. Bijvoorbeeld 6/sqrt x ? Ik had eerst in gedachtte dat je de hele boel door 6 deel waardoor je dus 1/ [1/6]sqrtx en dan standaard intergralen gebruiken, maar bewtijfel het enig zins. Kan je er misschien 6*[1/sqwt x] van maken en dan met behulp van partieel intergreren verder?? Nog een vraagje. Ik snap hoe partieel integreren gaat, maar heb er toch een vraagje over. Wanneer je iets van achter de d vandaan haalt, bv d[lnx] dat het dan 1/x word [ standaard afgeleidde] is dat dan altijd de afgeleidde van wat er achter de d staat. En visa versa??

Nou als ik gelijk bezig ben.
als je de intergraal 6/sqwrt x heb met als grenzen 0 tot negen en wanneer die convergent is. Wat is dan de waarde?? daar kwam ik niet helemaa uit

Alvast bedankt dan maar weer.

ps: Sommige zullen afvragen waarom ik dit niet aan de leraar vraag, maar ja het is een thuis studie dus geen leraar.

[GinnyPig]

Waar jij het over hebt is substitutie.

Stel je hebt de functie f(x) met een afgeleide f'(x). Die kan je ook schrijven als: df(x)/dx. Dus:

f'(x) = df(x)/dx.
Waaruit volgt:
f'(x)dx = f(x).

Voorbeeld:

[x/(x²+1)]dx (Die "[ ]" moet je maar ff zien als "wat er geintegreert wordt".)
De afgeleide van x²+1 is 2x. Dit staat eigenlijk boven de deelstreep (op een factor 2 na). Oftewel (het is overzichtelijker als je het uitschrijft):

[1/2*1/(x²+1) * (x²+1)']dx =
]1/2*1/(x²+1)] * d(x²+1) =
1/2*1/[u]d[u] (met u = x²+1)
En dit is weer een standaardintegraal, waardoor je krijgt:
1/2*ln[u] + C = 1/2*ln[x²+1] + C

Voor partieel integreren geldt:

Productregel van differentieren:
[f(x)*g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
Links en rechts integreren geeft:
f(x)*g(x) = [f'(x)g(x)]dx + [f(x)g'(x)]dx (het linkerlid werd gedifferentieerd, dus dat wordt bij integratie weer de "normale functies" f(x) en g(x).)
Dit geeft dus de uitdrukking:
[f(x)g'(x)]dx = f(x)*g(x) - [f'(x)g(x)]dx.

Voorbeeld:
[ln[x]]dx =
[(x)'*ln[x]]dx =
xln[x] - [x*[ln[x]]']dx =
xln[x] - [x*1/x]dx =
xln[x] - x + C.

Nu je vraag van het integreren van breuken. Allereerst moet je weten dat je constanten altijd voor het integraalteken kan halen. Dus:
[6*1/Sqrt[x]]dx = 6*[1/Sqrt[x]]dx
Verder kan je 1/Sqrt[x] ook schrijven als x^-1/2. En daar is weer een standaard-integraal voor:
[xⁿ]dx = 1/(n+1)*xⁿ⁺¹ (voor n is niet gelijk aan -1).
Dit geeft dus:
6*[1/Sqrt[x]]dx =
6*[x^-1/2]dx =
6*1/(-1/2 + 1)*x^-1/2+1 =
6/(1/2)*x^1/2 =
12*Sqrt[x]

Je laatste vraag over grenzen vat ik niet helemaal...

[mathfreak]

Zoals GinnyPig al aangaf is 12*sqrt(x) de primitieve van 6/sqrt(x), dus als je dat tussen de grenzen 0 en 9 integreert vind je de waarde
12*sqrt(9)-12*sqrt(0)=12*3-12*0=36-0=36 voor de gevraagde integraal.
Het al of niet convergent zijn van integralen treedt op in die situaties waarbij de functie die geïntegreerd wordt in een bepaald punt niet gedefinieerd is. Veronderstel dat je de integraal van a tot b van een gegeven functie f moet berekenen, maar dat f voor x naderend van rechts tot a naar plus oneindig gaat. Stel de onderste integratiegrens a+p en bepaal nu de limiet van de integraal van a+p tot b voor p naderend tot nul. Indien deze limiet bestaat noemen we de integraal van a tot b convergent en anders divergent.
Volledigheidshalve geef ik ook even de situatie als f voor x naderend van links tot b naar plus oneindig gaat. Stel de bovenste integratiegrens b-p en bepaal nu de limiet van de integraal van a tot b-p voor p naderend tot nul. Indien deze limiet bestaat noemen we de integraal van a tot b convergent en anders divergent.
Bij jouw voorbeeld heeft f het voorschrift f: x->6/sqrt(x), zodat de primitieve F het voorschrift F: x->12*sqrt(x) heeft. Omdat f voor x naderend van rechts tot nul naar plus oneindig gaat stel je de onderste integratiegrens 0+p=p. Door nu voor p naderend tot nul de limiet van de integraal van p tot 9 te nemen krijg je de limiet van 12*sqrt(9)-12*sqrt(p) voor p naderend tot nul, wat 12*sqrt(9)-12*sqrt(0)=12*3-12*0=36-0=36 oplevert, zoals ik al aangaf. De gevraagde integraal is dus convergent.