standaardlimiet

[zoemzoem]

In mijn boek staat het standaardlimiet lim (n -> oneindig) ( 1 - (x/n)) ^n = e ^ - x.
Maar hoe komen ze hierbij (heb mijn calculus boek + google al doorzocht, maar kan het niet terugvinden)?
Ik dacht namelijk dat (x/n) naar 0 gaat, dan gaat 1- 0 naar 1 en vervolgens 1^n wordt 1. Waar komt die e vandaan?

je moet ook de limiet tegelijk nemen en niet na elkaar

Probeer het maar eens met wat willekeurige waarden op je rekenmachine.

[mathfreak]

zoemzoem schreef op 15-07-2006 @ 14:30 :
In mijn boek staat het standaardlimiet lim (n -> oneindig) ( 1 - (x/n)) ^n = e ^ - x.
Maar hoe komen ze hierbij (heb mijn calculus boek + google al doorzocht, maar kan het niet terugvinden)?
Ik dacht namelijk dat (x/n) naar 0 gaat, dan gaat 1- 0 naar 1 en vervolgens 1^n wordt 1. Waar komt die e vandaan?

Er geldt: lim (n -> oneindig)(1+x/n)ⁿ=e^x. Stel x=-t, dan geldt:
lim (n -> oneindig)(1+x/n)ⁿ=lim (n -> oneindig)(1-t/n)ⁿ=e^-t. Als je (1+x/n)ⁿ uitwerkt met behulp van het binomium van Newton vind je de bekende machtreeksontwikkeling e^x=1+x/1!+x²/2!+...+xⁿ/n!+...
Door x door -x te vervangen vind je zo tevens de machtreeksontwikkeling e^-x=1-x/1!+x²/2!+...+(-x)ⁿ/n!+...

[zoemzoem]

Lucky Luciano schreef op 15-07-2006 @ 15:07 :
je moet ook de limiet tegelijk nemen en niet na elkaar

Probeer het maar eens met wat willekeurige waarden op je rekenmachine.

Heb het geprobeert op mn rekenmachine, en ze hebben ook wel gelijk, vroeg me alleen af waarom.

[zoemzoem]

mathfreak schreef op 15-07-2006 @ 15:09 :
Er geldt: lim (n -> oneindig)(1+x/n)ⁿ=e^x. Stel x=-t, dan geldt:
lim (n -> oneindig)(1+x/n)ⁿ=lim (n -> oneindig)(1-t/n)ⁿ=e^-t. Als je (1+x/n)ⁿ uitwerkt met behulp van het binomium van Newton vind je de bekende machtreeksontwikkeling e^x=1+x/1!+x²/2!+...+xⁿ/n!+...
Door x door -x te vervangen vind je zo tevens de machtreeksontwikkeling e^-x=1-x/1!+x²/2!+...+(-x)ⁿ/n!+...

Ik denk dat ik dit wel begrijp. Dankjewel!