sinus, cosinus, help!

[mini89]

Hoe bereken je de volgende "dingen" exact?

sin 135 graden
cos 90 graden
sin (-210 graden)
cos (-45 graden)

in m'n boek hebben ze het ook over de eenheidscirkel, maar kan iemand vertellen wat dat inhoud en hoe je het gebruikt?

[Safe]

Ga uit van die eenheidscirkel en het eerste 'been' van de hoek is altijd de pos x-as (cos-as).
135=90+45, dus het tweede been is de 'halve' lijn y=-x gerekend vanaf O. Deze snijden met de eenh.cirk, proj dit snijpunt op de x-as. Dit geeft een geo-drieh met rhzijden (noem ze even) a, a en sch.zijde 1. Dus 2a²=1. Bereken a!.
De x-coörd is de cos van 135 (denk aan het neg teken) en de y-coörd is de sin van 135.
Probeer de volgende zelf!

[mini89]

bedankt.

[Safe]

OK!
Het verdient aanbeveling een tabelletje te maken van sin en cos van de hoeken 0°, 30°, 45°, 60°, 90°.
Door deling krijg je ook nog eens de tan.
Je hebt er veel plezier van!

[DusterBoy]

Omdat het een eenheidscirkel is, is de straal dus altijd 1. Dit is dus altijd de schuine zijde als je pythagoras gebruikt.
De x lengte van de rechtzijdige driehoek is cosinus.
De y lengte van de rechtzijdige driehoek is sinus.

Nu kan je dus voor elke hoek die de x-as maakt met de schuine zijde (de straal = 1 dus), de sinus en cosinus exact berekenen. Let er wel op dat je in kwadranten werkt. Het bereik van de sinus en cosinus is [0,1], dus de hoek is nooit groter dan 90 graden (vandaar de kwadranten).

Je krijgt "mooie" antwoorden voor de hierboven al genoemde hoeken: 30, 45 en 60 graden. +-(1/2)wortel(3) en +-(1/2) afhankelijk van kwadrant. Groter dan 1 heb je dus iets fout gedaan

[ILUsion]

DusterBoy schreef op 12-10-2006 @ 17:07 :
Omdat het een eenheidscirkel is, is de straal dus altijd 1. Dit is dus altijd de schuine zijde als je pythagoras gebruikt.
De x lengte van de rechtzijdige driehoek is cosinus.
De y lengte van de rechtzijdige driehoek is sinus.

Nu kan je dus voor elke hoek die de x-as maakt met de schuine zijde (de straal = 1 dus), de sinus en cosinus exact berekenen. Let er wel op dat je in kwadranten werkt. Het bereik van de sinus en cosinus is [0,1], dus de hoek is nooit groter dan 90 graden (vandaar de kwadranten).

Je krijgt "mooie" antwoorden voor de hierboven al genoemde hoeken: 30, 45 en 60 graden. +-(1/2)wortel(3) en +-(1/2) afhankelijk van kwadrant. Groter dan 1 heb je dus iets fout gedaan

Het bereik van de cosinus en sinus is [-1,1] en je bent helemaal niet beperkt tot 0° tot 90°, je kan wel met behulp van het eerste kwadrant al de meest eenvoudige goniometrische getallen (sin, cos) van een hoek berekenen als je de formules voor verwante hoeken kent, maar vaak is het gewoon handiger om de gehele eenheidscirkel te tekenen en daarvan die formules af te leiden.

Ik heb hier een overzicht (PDF) van heel wat formules staan, alsook van al die frequente hoeken (en een overzicht van de verwante hoeken), samen met heel wat andere formules (waarvan er mogelijk nog enkele fout zijn). Kijk in het bovenstaande document maar eens op pagina 5 :-)

De waarden die daar staan zijn uitgewerkt, ook voor de verwante hoeken van heel wat frequente hoeken, maar in combinatie met die tweede tabel daar kun je ze zelf construeren door gebruik te maken van de waarden van de frequente hoeken in [0°,90°], die waarden wordt je meestal toch geacht van uit het hoofd te kennen.