[WI] wiskundig bewijzen

[Jaqu]

Ik moet voor een opdracht een cirkel tekenen met een driehoek er in. Zij het dat ik de omtrek hoek zo moet tekenen dat hij 30 graden is. Ik weet dan wel dat de middelpuntshoek 2 keer de omtrekshoek is. Maar hoe maak ik bijvoorbeeld van de middelpuntshoek 60 graden ?

[mathfreak]

Jaqu schreef op 10-12-2006 @ 11:26 :
Ik moet voor een opdracht een cirkel tekenen met een driehoek er in. Zij het dat ik de omtrekshoek zo moet tekenen dat hij 30 graden is. Ik weet dan wel dat de middelpuntshoek 2 keer de omtrekshoek is. Maar hoe maak ik bijvoorbeeld van de middelpuntshoek 60 graden ?

Laat A en B de eindpunten van middellijn AB zijn. Als M het middelpunt is, cirkel dan vanuit A een afstand AM om totdat je een punt C op de cirkel krijgt met AC=AM. Volgens de stelling van Thales moet hoek ACB nu een rechte hoek zijn.
Er geldt nu: AB=2*AC=2*AM. Omdat AB de schuine zijde van de rechthoekige driehoek ABC is geldt nu: AB²=AC²+BC². Uit AC=AM en AB=2*AC volgt dan: 4*AC²=AC²+BC², dus BC²=3*AC², dus BC=sqrt(3*AC²)=AC*sqrt(3). Dit betekent dat driehoek ABC op te vatten is als de helft van een gelijkzijdige driehoek met zijde AB=2*AC en hoogtelijn BC=AC*sqrt(3), dus hoek BAC=60° en hoek ABC=30°, dus hoek ABC is de gezochte omtrekshoek.

[EvilSmiley]

Als de middenpuntshoek 60 graden is, en de andere 2 hoeken aan elkaar gelijk zijn (is zo in jouw constructie), dan weet je dat je te maken hebt met een gelijkzijdige driehoek! Alle hoeken zijn namelijk zestig graden. Je kunt die driehoek tekenen door eerst van af het middenpunt van de cirkel (M) een lijn te trekken naar de cirkel, en vervolgens een passer gebruiken om vannaf dit gevonden snijpunt (S) een derde punt op de cirkel te vinden met gelijke afstand van S en M te vinden. Dat is dan je gelijkzijdige driehoek. Succes!

[Jaqu]

mathfreak schreef op 10-12-2006 @ 13:14 :
Laat A en B de eindpunten van middellijn AB zijn. Als M het middelpunt is, cirkel dan vanuit A een afstand AM om totdat je een punt C op de cirkel krijgt met AC=AM. Volgens de stelling van Thales moet hoek ACB nu een rechte hoek zijn.
Er geldt nu: AB=2*AC=2*AM. Omdat AB de schuine zijde van de rechthoekige driehoek ABC is geldt nu: AB²=AC²+BC². Uit AC=AM en AB=2*AC volgt dan: 4*AC²=AC²+BC², dus BC²=3*AC², dus BC=sqrt(3*AC²)=AC*sqrt(3). Dit betekent dat driehoek ABC op te vatten is als de helft van een gelijkzijdige driehoek met zijde AB=2*AC en hoogtelijn BC=AC*sqrt(3), dus hoek BAC=60° en hoek ABC=30°, dus hoek ABC is de gezochte omtrekshoek.

bedankt ! Deze uitleg is handig

Maar waarom volgt uit de stelling van thales dat een rechthoek een vierhoek is waarvan alle hoekpunten op een cirkel liggen?

[mathfreak]

Jaqu schreef op 10-12-2006 @ 16:08 :
bedankt ! Deze uitleg is handig

Maar waarom volgt uit de stelling van thales dat een rechthoek een vierhoek is waarvan alle hoekpunten op een cirkel liggen?

Laat AC de diagonaal zijn waarbij A en C de eindpunten van middellijn AC zijn en D het punt op de cirkel boven middellijn AC voorstelt. Het beeld van D bij spiegeling in het middelpunt M is het punt B. Nu geldt: hoek ADC=hoek ABC=90°. Tevens blijkt dat AB evenwijdig is met CD, dus hoek BAD=hoek ADC=hoek ABC=90°. Omdat AD evenwijdig is met BC geldt dan ook: hoek BCD=hoek BAD=90°. Omdat alle hoeken van vierhoek ABCD 90° zijn, is ABCD dus een rechthoek met de hoekpunten op een cirkel met middellijn AC.

[Jaqu]

mathfreak schreef op 10-12-2006 @ 18:37 :
Laat AC de diagonaal zijn waarbij A en C de eindpunten van middellijn AC zijn en D het punt op de cirkel boven middellijn AC voorstelt. Het beeld van D bij spiegeling in het middelpunt M is het punt B. Nu geldt: hoek ADC=hoek ABC=90°. Tevens blijkt dat AB evenwijdig is met CD, dus hoek BAD=hoek ADC=hoek ABC=90°. Omdat AD evenwijdig is met BC geldt dan ook: hoek BCD=hoek BAD=90°. Omdat alle hoeken van vierhoek ABCD 90° zijn, is ABCD dus een rechthoek met de hoekpunten op een cirkel met middellijn AC.

omdat je punt D spiegelt in M en B krijgt zijn de hoeken hetzelfde. Dat begrijp ik. Maar waarom is het 90 graden? Ik zie ook wel dat het een rechte hoek is. Maar dat mag je natuurlijk niet zo opschrijven

[mathfreak]

Jaqu schreef op 10-12-2006 @ 18:53 :
omdat je punt D spiegelt in M en B krijgt zijn de hoeken hetzelfde. Dat begrijp ik. Maar waarom is het 90 graden? Ik zie ook wel dat het een rechte hoek is. Maar dat mag je natuurlijk niet zo opschrijven

Je weet al dat AD en CD loodrecht op elkaar staan. Omdat AB evenwijdig is met CD staat AB ook loodrecht op CD, dus hoek BAD=hoek ADC=90°. Omdat AD evenwijdig is met BC geldt dan ook dat BC en CD loodrecht op elkaar staan,
dus hoek BCD=hoek BAD=90°. Omdat AB evenwijdig is met CD staat AB ook loodrecht op BC, dus hoek ABC=90°. Omdat alle hoeken van vierhoek ABCD 90° zijn, is ABCD dus een rechthoek met de hoekpunten op een cirkel met middellijn AC.